Problema 1205

Sea la función f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}.

a) Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función f y clasifícalos.
b) Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x=0.


Solución:

a) Comenzamos calculando los puntos críticos de f:

f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x^2+1)-(x^2-2x+1)2x}{(x^2+1)^2}=0~;\\\\2(x-1)(x^2+1)-(x-1)^22x=0~;\\\\2(x-1)[(x^2+1)-x(x-1)]=0~;\\\\2(x-1)(1+x)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=1 y x=-1.
Teniendo en cuenta estos dos puntos críticos y que el dominio de f es \mathbb R, caracterizamos los puntos críticos en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Observamos que f presenta un máximo en x=-1 y un mínimo en x=1. Calculamos las ordenadas de esos puntos:

  • f(-1)=\dfrac{(-1)^2-2\cdot(-1)+1}{(-1)^2+1}=\dfrac42=2
  • f(1)=\dfrac{1^2-2\cdot1+1}{1^2+1}=\dfrac02=0

Es decir, hay un máximo en (-1,2) y un mínimo en (1,0).


b) La ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{rt:~y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}\\\\\boxed{rn:~y=\dfrac{-1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0)+f(x_0)}

En nuestro caso x_0=0, luego:

  • f(0)=\dfrac{0^2-2\cdot0+1}{0^2+1}=1
  • f'(0)=\dfrac{2(0-1)(1+0)}{(0^2+1)^2}=\dfrac{-2}1=-2

La ecuación de la recta tangente es:

y=-2(x-0)+1~;\\\\rt:~\boxed{y=-2x+1}

y la recta normal es:

y=\dfrac{-1}{-2}\cdot(x-0)+1~;\\\\rn:~\boxed{y=\dfrac x2+1}

CLM-MII-O-20-P4

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