Problema 1206

a) Calcular razonadamente la siguiente integral: \displaystyle\int\dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}~dx.

b) Calcula, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función g(x)=-x^3+2x^2+3x y el eje de abscisas.


Solución:

a) Se trata de una integral racional \int\frac{P(x)}{Q(x)}. Dado que x^2-2x+1=(x-1)^2 descomponemos la fracción original del siguiente modo:

\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{3x-2}{(x-1)^2}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{(x-1)^2}=\dfrac{A(x-1)+B}{(x-1)^2}

de donde obtenemos:

3x-2=A(x-1)+B

  • Si x=1\rightarrow1=B
  • Si x=0\rightarrow-2=-A+B

de donde A=3 y B=1, luego:

\displaystyle\int\dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}~dx=\int\dfrac3{x-1}~dx+\int\dfrac1{(x-1)^2}~dx=\\\\=\boxed{3\ln|x-1|-\dfrac1{x-1}+k}


b) Comenzamos calculando dónde la función g corta con el eje de abscisas (y=0):

-x^3+2x^2+3x=0~;\\\\-x(x^2-2x-3)=0

ecuación cuyas soluciones son x=-1, x=0, x=3. El área buscada es la suma de los valores absolutos de las siguientes integrales:

\displaystyle S_1=\int_{-1}^0-x^3+2x^2+3x~dx=\left[\dfrac{-x^4}4+\dfrac{2x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_{-1}^0=\\\\=\Big(0\Big)-\left(\dfrac{-(-1)^4}4+\dfrac{2(-1)^3}3+\dfrac{3(-1)^2}2\right)=-\left(\dfrac{-1}4-\dfrac23+\dfrac32\right)=\\\\=-\dfrac{-3-8+18}{12}=\dfrac{-7}{12}

\displaystyle S_2=\int_0^3-x^3+2x^2+3x~dx=\left[\dfrac{-x^4}4+\dfrac{2x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_0^3=\\\\=\left(\dfrac{-3^4}4+\dfrac{2\cdot3^3}3+\dfrac{3\cdot3^2}2\right)-\Big(0\Big)=\dfrac{-81}4+18+\dfrac{27}2=\\\\=\dfrac{-81+72+54}{4}=\dfrac{45}4

El área total es:

S=\dfrac7{12}+\dfrac{45}4=\dfrac{7+135}{12}=\dfrac{142}{12}=\boxed{\dfrac{71}6\text{ u.a.}}

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