a) Calcular razonadamente la siguiente integral: 
b) Calcula, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función 
Solución:
a) Se trata de una integral racional 
de donde obtenemos:
- Si
- Si
de donde A=3 y B=1, luego:
b) Comenzamos calculando dónde la función g corta con el eje de abscisas (y=0):
ecuación cuyas soluciones son x=-1, x=0, x=3. El área buscada es la suma de los valores absolutos de las siguientes integrales:
![\displaystyle S_1=\int_{-1}^0-x^3+2x^2+3x~dx=\left[\dfrac{-x^4}4+\dfrac{2x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_{-1}^0=\\\\=\Big(0\Big)-\left(\dfrac{-(-1)^4}4+\dfrac{2(-1)^3}3+\dfrac{3(-1)^2}2\right)=-\left(\dfrac{-1}4-\dfrac23+\dfrac32\right)=\\\\=-\dfrac{-3-8+18}{12}=\dfrac{-7}{12}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S_1%3D%5Cint_%7B-1%7D%5E0-x%5E3%2B2x%5E2%2B3x%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B-x%5E4%7D4%2B%5Cdfrac%7B2x%5E3%7D3%2B%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D2%5Cright%5D_%7B-1%7D%5E0%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5CBig%280%5CBig%29-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-%28-1%29%5E4%7D4%2B%5Cdfrac%7B2%28-1%29%5E3%7D3%2B%5Cdfrac%7B3%28-1%29%5E2%7D2%5Cright%29%3D-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-1%7D4-%5Cdfrac23%2B%5Cdfrac32%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D-%5Cdfrac%7B-3-8%2B18%7D%7B12%7D%3D%5Cdfrac%7B-7%7D%7B12%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S_1=\int_{-1}^0-x^3+2x^2+3x~dx=\left[\dfrac{-x^4}4+\dfrac{2x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_{-1}^0=\\\\=\Big(0\Big)-\left(\dfrac{-(-1)^4}4+\dfrac{2(-1)^3}3+\dfrac{3(-1)^2}2\right)=-\left(\dfrac{-1}4-\dfrac23+\dfrac32\right)=\\\\=-\dfrac{-3-8+18}{12}=\dfrac{-7}{12}")
![\displaystyle S_2=\int_0^3-x^3+2x^2+3x~dx=\left[\dfrac{-x^4}4+\dfrac{2x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_0^3=\\\\=\left(\dfrac{-3^4}4+\dfrac{2\cdot3^3}3+\dfrac{3\cdot3^2}2\right)-\Big(0\Big)=\dfrac{-81}4+18+\dfrac{27}2=\\\\=\dfrac{-81+72+54}{4}=\dfrac{45}4](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S_2%3D%5Cint_0%5E3-x%5E3%2B2x%5E2%2B3x%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B-x%5E4%7D4%2B%5Cdfrac%7B2x%5E3%7D3%2B%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D2%5Cright%5D_0%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-3%5E4%7D4%2B%5Cdfrac%7B2%5Ccdot3%5E3%7D3%2B%5Cdfrac%7B3%5Ccdot3%5E2%7D2%5Cright%29-%5CBig%280%5CBig%29%3D%5Cdfrac%7B-81%7D4%2B18%2B%5Cdfrac%7B27%7D2%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B-81%2B72%2B54%7D%7B4%7D%3D%5Cdfrac%7B45%7D4&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S_2=\int_0^3-x^3+2x^2+3x~dx=\left[\dfrac{-x^4}4+\dfrac{2x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_0^3=\\\\=\left(\dfrac{-3^4}4+\dfrac{2\cdot3^3}3+\dfrac{3\cdot3^2}2\right)-\Big(0\Big)=\dfrac{-81}4+18+\dfrac{27}2=\\\\=\dfrac{-81+72+54}{4}=\dfrac{45}4")
El área total es:
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