Problema 1207

Dados los planos $\pi_1\equiv~2x+y+z-2=0$ y $\pi_2\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda-\mu\\y=-\lambda+\mu\\z=-2+2\lambda\end{array}\right.$ .

a) Calcula razonadamente el ángulo que forman los dos planos.
b) Halla razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto P(3,-3,2) y los puntos de corte del plano $\pi_1$ con los ejes coordenados.

Solución:

a) El ángulo que forman dos planos es igual al ángulo que forman sus vectores normales.
El vector normal de $\pi_1$ es $\vec n_1=(2,1,1)$ . El vector normal de $\pi_2$ es:

$\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&2\\-1&1&0\end{vmatrix}=-2\vec\imath-2\vec\jmath+\vec k(1-1)=(-2,-2,0)$

simplificando $\vec n_2=(1,1,0)$ .
El ángulo α que forma los vectores $\vec n_1$ y $\vec n_2$ es:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}~;\\\\\cos\alpha=\dfrac{|2\cdot1+1\cdot1+1\cdot0|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}\sqrt{1^2+1^2+0^2}}~;\\\\\cos\alpha=\dfrac3{\sqrt6\sqrt2}=\dfrac3{\sqrt{12}}=\dfrac{\sqrt3}2~;\\\\\boxed{\alpha=30^\circ}$

b) Primero calculamos los puntos donde $\pi_1$ corta a los ejes de coordenadas.

$A=\pi_1\cap\text{eje }x:~\left\{\begin{array}{l}2x+y+z-2=0\\y=0\\z=0\end{array}\right.\rightarrow A=(1,0,0)$

$B=\pi_1\cap\text{eje }y:~\left\{\begin{array}{l}2x+y+z-2=0\\x=0\\z=0\end{array}\right.\rightarrow B=(0,2,0)$

$C=\pi_1\cap\text{eje }z:~\left\{\begin{array}{l}2x+y+z-2=0\\x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow C=(0,0,2)$

Calculamos los vectores que definen el tetraedro:

$\bullet~\overrightarrow{AB}=(0,2,0)-(1,0,0)=(-1,2,0)\\\bullet~\overrightarrow{AC}=(0,0,2)-(1,0,0)=(-1,0,2)\\\bullet~\overrightarrow{AP}=(3,-3,2)-(1,0,0)=(2,-3,2)$