Problema 1207

Dados los planos \pi_1\equiv~2x+y+z-2=0 y \pi_2\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda-\mu\\y=-\lambda+\mu\\z=-2+2\lambda\end{array}\right..

a) Calcula razonadamente el ángulo que forman los dos planos.
b) Halla razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto P(3,-3,2) y los puntos de corte del plano \pi_1 con los ejes coordenados.


Solución:

a) El ángulo que forman dos planos es igual al ángulo que forman sus vectores normales.
El vector normal de \pi_1 es \vec n_1=(2,1,1). El vector normal de \pi_2 es:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&2\\-1&1&0\end{vmatrix}=-2\vec\imath-2\vec\jmath+\vec k(1-1)=(-2,-2,0)

simplificando \vec n_2=(1,1,0).
El ángulo α que forma los vectores \vec n_1 y \vec n_2 es:

\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}~;\\\\\cos\alpha=\dfrac{|2\cdot1+1\cdot1+1\cdot0|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}\sqrt{1^2+1^2+0^2}}~;\\\\\cos\alpha=\dfrac3{\sqrt6\sqrt2}=\dfrac3{\sqrt{12}}=\dfrac{\sqrt3}2~;\\\\\boxed{\alpha=30^\circ}


b) Primero calculamos los puntos donde \pi_1 corta a los ejes de coordenadas.

A=\pi_1\cap\text{eje }x:~\left\{\begin{array}{l}2x+y+z-2=0\\y=0\\z=0\end{array}\right.\rightarrow A=(1,0,0)

B=\pi_1\cap\text{eje }y:~\left\{\begin{array}{l}2x+y+z-2=0\\x=0\\z=0\end{array}\right.\rightarrow B=(0,2,0)

C=\pi_1\cap\text{eje }z:~\left\{\begin{array}{l}2x+y+z-2=0\\x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow C=(0,0,2)

Calculamos los vectores que definen el tetraedro:

tetraedro

\bullet~\overrightarrow{AB}=(0,2,0)-(1,0,0)=(-1,2,0)\\\bullet~\overrightarrow{AC}=(0,0,2)-(1,0,0)=(-1,0,2)\\\bullet~\overrightarrow{AP}=(3,-3,2)-(1,0,0)=(2,-3,2)

El volumen del tetraedro es la sexta parte del módulo del producto mixto de estos tres vectores:

V=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]|}6

[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]=\begin{vmatrix}-1&2&0\\-1&0&2\\2&-3&2\end{vmatrix}=8+4-6=6

Luego:

V=\dfrac66=\boxed{1\text{ u.v.}}

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