Problema 1208

Dados el plano \pi\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-1+\mu\\y=1+\lambda+a\mu\\z=1+2\lambda-\mu\end{array}\right. y la recta s\equiv\left\{\begin{array}{rl}x-2y&=1-b\\z&=-3\end{array}\right..

a) Calcula razonadamente el valor de los parámetros a y b para que la recta esté contenida en el plano π.
b) Si a=0 y b=3, calcula razonadamente la ecuación en forma implícita de la recta r que pasa por el punto P(1,-1,-8), es paralela al plano π y perpendicular a la recta s.


Solución:

a) El plano π en forma vectorial es:

\pi:~(x,y,z)=(-1,1,1)+\lambda(0,1,2)+\mu(1,a,-1)

y en forma general:

\begin{vmatrix}x+1&y-1&z-1\\0&1&2\\1&a&-1\end{vmatrix}=(x+1)(-1-2a)+2(y-1)-(z-1)~;\\\\\pi:~(-1-2a)x+2y-z=2a+2

Si unimos las ecuaciones implícitas del plano y de la recta tendremos la intersección de ambas variedades lineales:

\left\{\begin{array}{rl}(-1-2a)x+2y-z&=2a+2\\x-2y&=1-b\\z&=-3\end{array}\right.

Para que la recta esté contenida en el plano, el sistema anterior debe ser compatible indeterminado, es decir, rg(M)=rg(M*)=2.

M=\begin{pmatrix}-1-2a&2&-1\\1&-2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}-1-2a&2&-1&2a+2\\1&-2&0&1-b\\0&0&1&-3\end{pmatrix}

\begin{vmatrix}-1-2a&2&-1\\1&-2&0\\0&0&1\end{vmatrix}=2+4a-2=4a

Si a=0 entonces rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}-2&0\\0&1\end{vmatrix}=-2\neq0.
Para éste valor de a calculamos el rango de la matriz ampliada M*:

\begin{vmatrix}2&-1&2\\-2&0&1-b\\0&1&-3\end{vmatrix}=-4+6-2(1-b)=0~;\\\\2b=0

Debe ser a=0, b=0.


b) Sea a=0 y b=3.
La recta r debe ser paralela a π, por tanto el vector director de r debe ser perpendicular al vector normal de π, \vec n_\pi=(-1,2,-1).
La recta r debe ser perpendicular a s. Calculamos el vector director de s:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-2&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-2\vec\imath-\vec\jmath=(-2,-1,0)=\vec v_s

El vector director de r debe ser perpendicular a \vec n_\pi y a \vec v_s:

\vec v_r=\vec n_\pi\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&2&-1\\-2&-1&0\end{vmatrix}=-\vec\imath+2\vec\jmath+\vec k(1+4)=(-1,2,5)

Sabiendo que r pasa por el punto P(1,-1,-8), tenemos la ecuación en forma continua de r:

r:~\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}2=\dfrac{z+8}5

de donde obtenemos sus ecuaciones implícita:

\left\{\begin{array}{l}2(x-1)=-(y+1)\\5(y+1)=2(z+8)\end{array}\right.\\\\r:~\left\{\begin{array}{l}2x+y=1\\5y-2z=11\end{array}\right.

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