Problema 1209

a) En un servicio de emergencias el 60 % de los avisos que se reciben se clasifican con el código amarillo, el 30 % con el naranja y el 10 % con el rojo. Se sabe que el porcentaje de avisos recibidos que son falsas alarmas es 3 % en el caso de código amarillo, 2 % en el naranja y 1 % en el rojo. Si se recibe un aviso,

a.1) ¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?
a.2) Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un aviso código rojo o naranja?

b) Si en una centralita se reciben 9 avisos,

b.1) ¿Qué probabilidad hay de que la centralita reciba 2 o menos avisos naranjas?
b.2) ¿Qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas?


Solución:

Sea A el suceso «recibir aviso con código amarillo», sea N el suceso «recibir aviso con código naranja», sea R el suceso «recibir aviso con código rojo» y sea F el suceso «recibir una falsa alarma». Según el enunciado conocemos las siguientes probabilidades:

  • P[A]=0.6
  • P[N]=0.3
  • P[R]=0.1
  • P[F/A]=0.03
  • P[F/N]=0.02
  • P[F/R]=0.01

a.1) Nos piden la probabilidad total P[F]:

P[F]=P[A]\cdot P[F/A]+P[N]\cdot P[F/N]+P[R]\cdot P[F/R]=\\\\=0.6\cdot0.03+0.3\cdot0.02+0.1\cdot0.01=\boxed{0.025}


a.2) Nos piden la probabilidad P[(R\cup N)/\overline F]. Utilizamos el teorema de Bayes para empezar:

P[(R\cup N)/\overline F]=\dfrac{P[R\cup N]\cdot P[\overline F/(R\cup N)]}{P[\overline F]}\qquad(1)

donde P[\overline F]=1-P[F] y P[R\cup N]=P[R]+P[N]=0.4 por ser sucesos incompatibles.
Sabemos que:

P[F\cap(R\cup N)]=P[(F\cap R)\cup(F\cap N)]=P[F\cap R]+P[F\cap N]=\\\\=P[R]\cdot P[F/R]+P[N]\cdot P[F/N]=0.1\cdot0.01+0.3\cdot0.02=0.007

Luego:

P[F/(R\cup N)]=\dfrac{P[F\cap(R\cup N)]}{P[R\cup N]}=\dfrac{0.007}{0.4}=0.0175

y:

P[\overline F/(R\cup N)]=1-P[F/(R\cup N)]=1-0.0175=0.9825

Sustituyendo en (1):

P[(R\cup N)/\overline F]=\dfrac{0.4\cdot0.9825}{1-0.025}=\boxed{0.403}


b.1) La probabilidad de que de n intentos se obtengan k resultados de un suceso de probabilidad p es:

\displaystyle P[x=k]={n\choose k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}

La probabilidad de que se reciba un aviso de código naranja es p=0.3. Se reciben n=9 llamadas.

  • La probabilidad de obtener 2 llamadas de código naranja es:
    \displaystyle P[x=2]={9\choose2}\cdot0.3^2\cdot0.7^7=0.544
  • La probabilidad de obtener 1 llamada de código naranja es:
    \displaystyle P[x=1]={9\choose1}\cdot0.3^1\cdot0.7^8=0.1556
  • La probabilidad de obtener 0 llamadas de código naranja es:
    \displaystyle P[x=0]={9\choose0}\cdot0.3^0\cdot0.7^9=0.0403

Luego, la probabilidad de que de 9 llamas hayan 2 o menos de código naranja es:

P=0.544+0.1556+0.0403=\boxed{0.74}


b.2) Querer que todos los avisos sean amarillos o naranjas es igual a querer que no hayan avisos de código rojo.
Dado que la probabilidad de que el aviso sea código rojo es p=0.1, la probabilidad de que de 9 llamadas ninguna sea código rojo es:

\displaystyle P[x=0]={9\choose0}\cdot0.1^0\cdot0.9^9=\boxed{0.387}

Esa es la probabilidad de que las 9 llamadas sean código amarillo o naranja.

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