Problema 1210

Dada la matriz

\begin{pmatrix}1&-1&k\\2&-k&1\\1&-1&-1\end{pmatrix}

a) Estudie los valores de k\in\mathbb R para los que la matriz tiene inversa.
b) Calcule la inversa para k=1.


Solución:

a) La matriz no tiene inversa para aquellos valores de k que hagan el determinante igual a 0:

\begin{vmatrix}1&-1&k\\2&-k&1\\1&-1&-1\end{vmatrix}=k-1-2k+k^2-2+1~;\\\\k^2-k-2=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son k=-1, k=2.
La matriz no tiene inversa si k=-1 o k=2.


b) Para k=1 la matriz M es \begin{pmatrix}1&-1&1\\2&-1&1\\1&-1&-1\end{pmatrix}. Calculamos su inversa con la fórmula:

M^{-1}=\dfrac1{|M|}\cdot(\text{Adj}M)^t

|M|=1^2-1-2=-2

\text{Adj}M=\begin{pmatrix}2&3&-1\\-2&-2&0\\0&1&1\end{pmatrix}

Y la matriz inversa es:

M^{-1}=\dfrac1{-2}\cdot\begin{pmatrix}2&-2&0\\3&-2&1\\-1&0&1\end{pmatrix}

Ext-MII-O-20-P1

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