Problema 1211

Discuta en función del parámetro \lambda\in\mathbb R el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}x+\lambda y-z&=1\\-\lambda x+y&=\lambda\\(\lambda+3)y-2z&=4\end{array}\right.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&\lambda&-1\\-\lambda&1&0\\0&\lambda+3&-2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&\lambda&-1&1\\-\lambda&1&0&\lambda\\0&\lambda+3&-2&4\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de M para estudiar los rangos de ambas matrices:

\begin{vmatrix}1&\lambda&-1\\-\lambda&1&0\\0&\lambda+3&-2\end{vmatrix}=-2+\lambda(\lambda+3)-2\lambda^2=-\lambda^2+3\lambda-2=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son \lambda=1,~\lambda=2.

  • Si \lambda\neq1\text{ y }\lambda\neq2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si \lambda=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&0\\0&4&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1+1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&1\\-1&1&0&1\\0&4&-2&4\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\0&4&4\end{vmatrix}=0 tiene dos columnas iguales.
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si \lambda=2, entonces M=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-2&1&0\\0&5&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\-2&0\end{vmatrix}=-2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\-2&1&0&2\\0&5&-2&4\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&-1&1\\-2&0&2\\0&-2&4\end{vmatrix}=4-8+4=0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.

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