Discuta en función del parámetro el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el determinante de M para estudiar los rangos de ambas matrices:
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son .
- Si
, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si
, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
tiene dos columnas iguales.
Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado. - Si
, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
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