Problema 1212

Sean el plano π de ecuación 2x+y-z-2=0 y la recta r dada por \frac x3=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-1}3.

a) Estudie la posición relativa de la recta respecto del plano.
b) Calcule la distancia de la recta al plano.


Solución:

a) Escribimos la recta r en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=3\lambda\\y=2-3\lambda\\z=1+3\lambda\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

2(3\lambda)+(2-3\lambda)-(1+3\lambda)-2=0~;\\\\6\lambda+2-3\lambda-1-3\lambda-2=0~;\\\\0\lambda=1~;\\\\0=1~!!!

Esta ecuación no tiene solución luego, recta y plano son paralelos.


b) La distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano, por ejemplo, el punto de la recta P_r=(0,2,1). Recordar las fórmulas de las distancias:

d(r,\pi)=d(P_r,\pi)=\dfrac{|2\cdot0+2-1-2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac1{\sqrt6}\text{ u.l.}

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