Problema 1213

Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores II,

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 3, −2), B(4, 3, 1) y C(1, 0, 1) como podemos observar en la siguiente representación:

p1213

a) Calcule el cuarto vértice D.
b) Calcule el área del paralelogramo.

Solución:

a) Sabemos que \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}, luego:

\overrightarrow{BA}=(1,3,-2)-(4,3,1)=(-3,0,-3)=\overrightarrow{CD}~;\\\\D=(-3,0,-3)+(1,0,1)=\boxed{(-2,0,-2)}

b) El área del paralelogramo generado por los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC} es el módulo del producto vectorial de ambos vectores:

\overrightarrow{AB}=(3,0,3)~;\\\overrightarrow{AC}=(1,0,1)-(1,3,-2)=(0,-3,3)~;\\\\\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\3&0&3\\0&-3&3\end{vmatrix}=9\vec\imath-9\vec\jmath-9\vec k=(9,-9,-9)

El área es:

|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{9^2+(-9)^2+(-9)^2}=\boxed{9\sqrt3\text{ u.a.}}

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