a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función .
b) Justifique si existe algún valor de x tal que .
Solución:
a) Comenzamos calculando los puntos críticos de f:
Ecuación cuyas soluciones son .
Dado que el dominio de f es todo , estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:
- f crece en
.
- f decrece en
.
- f tiene un máximo en
.
- f tiene un mínimo en
.
b) Si entonces
. Definimos
y buscamos si existe algún valor
tal que
.
Sabemos que:
Utilizando el teorema de Bolzano, dado que g es continua en [0,1] y que , entonces existe
tal que
y, por tanto, existe
tal que
.
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