Problema 1214

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función f(x)=e^x(x^2-x+1).

b) Justifique si existe algún valor de x tal que f(x)=2.


Solución:

a) Comenzamos calculando los puntos críticos de f:

f'(x)=e^x(x^2-x+1)+e^x(2x-1)=0~;\\\\e^x(x^2+x)=0~;\\\\xe^x(x+1)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0,~x=-1.
Dado que el dominio de f es todo \mathbb R, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty).
  • f decrece en x\in(-1,0).
  • f tiene un máximo en (-1,f(-1))=(-1,\frac3e).
  • f tiene un mínimo en (0,f(0))=(0,1).

b) Si f(x)=2 entonces f(x)-2=0. Definimos g(x)=f(x)-2 y buscamos si existe algún valor x=c tal que g(c)=0.
Sabemos que:

  • g(0)=1-2=-1<0
  • g(1)=e^1(1^2-1+1)-2=e-2\approx0.71>0

Utilizando el teorema de Bolzano, dado que g es continua en [0,1] y que g(0)\cdot g(1)<0, entonces existe c\in(0,1) tal que g(c)=0 y, por tanto, existe c\in(0,1) tal que f(c)=2.

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