Problema 1214

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $f(x)=e^x(x^2-x+1)$ .

b) Justifique si existe algún valor de x tal que $f(x)=2$ .

Solución:

a) Comenzamos calculando los puntos críticos de f:

$f'(x)=e^x(x^2-x+1)+e^x(2x-1)=0~;\\\\e^x(x^2+x)=0~;\\\\xe^x(x+1)=0$

Ecuación cuyas soluciones son $x=0,~x=-1$ .
Dado que el dominio de f es todo $\mathbb R$ , estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$

f crece en $x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$ .
f decrece en $x\in(-1,0)$ .
f tiene un máximo en $(-1,f(-1))=(-1,\frac3e)$ .
f tiene un mínimo en $(0,f(0))=(0,1)$ .

b) Si $f(x)=2$ entonces $f(x)-2=0$ . Definimos $g(x)=f(x)-2$ y buscamos si existe algún valor $x=c$ tal que $g(c)=0$ .
Sabemos que:

$g(0)=1-2=-1<0$
$g(1)=e^1(1^2-1+1)-2=e-2\approx0.71>0$

Utilizando el teorema de Bolzano, dado que g es continua en [0,1] y que $g(0)\cdot g(1)<0$ , entonces existe $c\in(0,1)$ tal que $g(c)=0$ y, por tanto, existe $c\in(0,1)$ tal que $f(c)=2$ .

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Problema 1214

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