Problema 1215

Considere la función f donde a\in\mathbb R, dada por

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{1-e^x}x&\text{si}&x\neq0\\\\a&\text{si}&x=0\end{array}\right.

a) Calcule el valor de a para que la función sea continua.
b) Calcule la ecuación de la recta tangente en x=1.


Solución:

a) La función es continua para x\neq0. Veamos si f es continua para x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1-e^x}x=\dfrac00=\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-e^x}1=-1\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1-e^x}x=\dfrac00=\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-e^x}1=-1\\\\\bullet~f(0)=a

Para que f sea continua en x=0 ha de ser a=-1.


b) La ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

En nuestro caso x_0=1, luego:

\bullet~f(1)=\dfrac{1-e^1}1=1-e

Dado que:

f'(x)=\dfrac{-e^xx-(1-e^x)}{x^2}=\dfrac{-xe^x-1+e^x}{x^2}\\\\\bullet~f'(1)=\dfrac{-e-1+e}{1^2}=-1

y la recta tangente resulta:

y=-1(x-1)+(1-e)~;\\\\\boxed{y=-x+2-e}

Ext-MII-O-20-P6

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