Problema 1216

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II, ,

Dadas las funciones f(x)=x^2-4x+1\text{ y }g(x)=-x+1, se pide:

a) Represente de forma aproximada la región delimitada por las dos curvas.
b) Calcule el área de dicha región.

Solución:

a) La función cuadrática f(x)=x^2-4x+1, gráficamente es una parábola convexa cuyo vértice está en:

\bullet~x_v=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-4)}{2\cdot1}=2\\\\\bullet~y_v=2^2-4\cdot2+1=-3

y corta al eje OY en el punto (0,1) y por simetría, también pasa por (4,1).
La función afín g(x)=-x+1, es una recta de pendiente negativa que corta a los ejes en (0,1) y (1,0).
Con estos datos, el esbozo de ambas gráficas es semejante al de la siguiente figura:

p1216

b) Calculamos donde se cortan ambas gráficas:

f(x)=g(x)~;\\\\x^2-4x+1=-x+1~;\\\\x^2-3x=0~;\\\\x(x-3)=0

ecuación cuyas soluciones son x=0,~x=3.
El área S de la región encerrada por ambas funciones es:

\displaystyle S=\int_0^3(-x+1)-(x^2-4x+1)~dx=\int_0^3-x^2+3x~dx=\\\\=\left[\dfrac{-x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_0^3=\left(\dfrac{-3^3}3+\dfrac{3\cdot3^2}2\right)-(0)=\\\\=-9+\dfrac{27}2=\boxed{\dfrac92\text{ u.a.}}

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