Problema 1217

Resuelva la integral

\displaystyle\int\dfrac{-x+7}{x^2+x-2}~dx


Solución:

Se trata de una integral racional. Primero calculamos las raíces del denominador que son x=1,~x=-2. Luego:

\dfrac{-x+7}{x^2+x-2}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{x+2}=\dfrac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}

de donde obtenemos:

-x+7=A(x+2)+B(x-1)

Sustituyendo:

  • Si x=1\rightarrow 6=3A\rightarrow A=2
  • Si x=-2\rightarrow 9=-3B\rightarrow B=-3

La integral resulta:

\displaystyle\int\dfrac{-x+7}{x^2+x-2}~dx=\int\dfrac2{x-1}~dx+\dfrac{-3}{x+2}~dx=\\\\=\boxed{2\ln|x-1|-3\ln|x+2|+k}

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