Problema 1218

Una librerı́a compra lotes de material escolar a tres empresas A, B y C. A la empresa A le compra el 40 % de los lotes, a B el 25 % y a C el resto. De la empresa A le viene defectuoso el 1 % de los lotes, de B el 2 % y de C el 3 %. Elegido un lote al azar, se pide:

a) Calcule la probabilidad de que sea defectuoso.
b) Si sabemos que no es defectuoso, calcule la probabilidad de que lo haya fabricado la empresa B.


Solución:

Sea A el suceso «fabricado por la empresa A«, sea B el suceso «fabricado por la empresa B«, sea C el suceso «fabricado por la empresa C» y sea D el suceso «lote defectuoso».
Conocemos las siguientes probabilidades:

  • P[A]=0.4
  • P[B]=0.25
  • P[C]=1-0.4-0.25=0.35
  • P[D/A]=0.01
  • P[D/B]=0.02
  • P[D/C]=0.03

Podemos representar las siguientes probabilidades en el siguiente diagrama de árbol:

p1218

a) Nos piden la probabilidad total P[D]:

P[D]=P[A]\cdot P[D/A]+P[B]\cdot P[D/B]+P[C]\cdot P[D/C]=\\\\=0.4\cdot0.01+0.25\cdot0.02+0.35\cdot0.03=\boxed{0.0195}


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[B/\overline D]. Comenzamos utilizando el teorema de Bayes:

P[B/\overline D]=\dfrac{P[B]\cdot P[\overline D/B]}{P[\overline D]}

donde:

  • P[\overline D]=1-P[D]=1-0.0195=0.9805
  • P[\overline D/B]=1-P[D/B]=1-0.02=0.98

Luego:

P[B/\overline D]=\dfrac{0.25\cdot0.9805}{0.98}=\boxed{0.2501}

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