Problema 1220

Dado el sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=1\\ax+z&=0\\x+(1+a)y+az&=a+1\end{array}\right.

determina el parámetro a, y resuelve siempre que se pueda, de manera que el sistema:

a) tenga solución única.
b) tenga infinitas soluciones.
c) no tenga solución.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&0\\a&0&1\\1&1+a&a\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\a&0&1&0\\1&1+a&a&a+1\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&1&0\\a&0&1\\1&1+a&a\end{vmatrix}=1-a^2-(1+a)=-a^2-a=-a(a+1)

Determinante que se anula para a=0 y a=-1, luego:

  • Si a\neq0\text{ y }a\neq-1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n.
  • Si a=0 entonces M=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que la tercera fila es igual a la primera, luego, rg(M)=rg(M*)=2<n.
  • Si a=-1 entonces M=\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&0&1\\1&0&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\-1&0&1&0\\1&0&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango también es 2 ya que la tercera fila es proporcional a la segunda.

Luego, según el teorema de R-F:

a) Para que el sistema tenga solución única debe ser a\neq0\text{ y }a\neq-1.


b) Para que el sistema tenga infinitas soluciones debe ser a=0 o a=-1.


c) No hay valor de a para el que el sistema sea incompatible y, por tanto, no tenga ninguna solución.

Bal-MII-O-20-1A

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