Problema 1220

Dado el sistema de ecuaciones lineales

determina el parámetro a, y resuelve siempre que se pueda, de manera que el sistema:

a) tenga solución única.
b) tenga infinitas soluciones.
c) no tenga solución.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

Determinante que se anula para a=0 y a=-1, luego:

  • Si , entonces rg(M)=3=rg(M*)=n.
  • Si entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos el rango de la matriz ampliada cuyo rango es 2 ya que la tercera fila es igual a la primera, luego, rg(M)=rg(M*)=2<n.
  • Si entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos el rango de la matriz ampliada cuyo rango también es 2 ya que la tercera fila es proporcional a la segunda.

Luego, según el teorema de R-F:

a) Para que el sistema tenga solución única debe ser .


b) Para que el sistema tenga infinitas soluciones debe ser a=0 o a=-1.


c) No hay valor de a para el que el sistema sea incompatible y, por tanto, no tenga ninguna solución.

Bal-MII-O-20-1A

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