Problema 1221

Considera la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R dada por

y=f(x)=x^3-3x

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=-1.
b) Haz un esbozo de la gráfica de y=f(x) y calcula: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función en el infinito.
c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta y=2.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a la función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

En nuestro caso x_0=-1, luego:

\bullet~f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)=2\\\\\rightarrow f'(x)=3x^2-3\\\\\bullet~f'(-1)=3\cdot(-1)^2-3=0

La ecuación de la recta tangente es:

y=0(x-(-1))+2~;\\\\\boxed{y=2}


b) Puntos de corte con los ejes:

  • Corte con el eje x (y=0):
    0=x^3-3x~;\\0=x(x^2-3)~;\\x=0,~x=\sqrt3,~x=-\sqrt3
    Corta en (0,0),~(\sqrt3,0),~(-\sqrt3,0).
  • Corte con el eje y (x=0):
    y=0^3-3\cdot0=0
    Corta en (0,0).

Para calcular los extremos relativos igualamos la derivada de f a 0 y resolvemos:

3x^2-3=0~;\\\\x^2=1~;\\\\x=1,~x=-1

Estudiamos la monotonía de f para caracterizar los extremos, sabiendo que el dominio de f es todo \mathbb R:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
  • f decrece en x\in(-1,1).
  • f presenta un máximo en (-1,2).
  • f presenta un mínimo en (1,-2).

Comportamiento de la función en el infinito:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3-3x=\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3-3x=\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty

Con todos los datos aportados, el esbozo de f es semejante a la siguiente gráfica:

p1221a


b) Nos piden calcular el área S de la región limitada por las gráficas de f y de y=2:

p1221

Necesitamos conocer dónde se cortan ambas curvas:

2=x^3-3x~;\\\\x^3-3x-2=0

Utilizando el método de Ruffini obtenemos las soluciones de la ecuación x=2,~x=-1.

\displaystyle S=\int_{-1}^2(2)-(x^3-3x)~dx=\int_{-1}^2-x^3+3x+2~dx=\\\\=\left[\dfrac{-x^4}4+\dfrac{3x^2}2+2x\right]_{-1}^2=\\\\=(-4+6+4)-\left(\dfrac{-1}4+\dfrac32-2\right)=\boxed{\dfrac{27}4\text{ u.a.}}

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