Problema 1222

Considera el punto P(2,-1,1) y la recta r dada por

\left\{\begin{array}{rl}2x-3y+4z-1&=0\\x+2y-3z-2&=0\end{array}\right.

a) Calcula la expresión de la ecuación continua de la recta r.
b) Calcula la ecuación del plano π perpendicular a la recta r que pasa por el punto P.
c) Calcula el punto Q que es intersección del plano π con la recta r.
d) De todas las rectas que pasan por el punto P, calcula aquella que corta perpendicularmente a la recta r.


Solución:

a) Pasamos la recta a paramétricas. Parametrizamos z=\lambda en la ecuación general de r:

\left\{\begin{array}{rl}2x-3y&=1-4\lambda\\x+2y&=2+3\lambda\end{array}\right.

Multiplicamos la segunda ecuación por -2:

\left\{\begin{array}{rl}2x-3y&=1-4\lambda\\-2x-4y&=-4-6\lambda\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones obtenemos:

-7y=-3-10\lambda

de donde y=\frac{3+10\lambda}7. Sustituyendo en x+2y=2+3\lambda:

x+2\cdot\dfrac{3+10\lambda}7=2+3\lambda~;\\\\x=2+3\lambda-\dfrac{6+20\lambda}7~;\\\\x=\dfrac{8+\lambda}7

Tenemos así un punto de la recta r, P_r=(\frac87,\frac37,0) y su vector director proporcional a (\frac17,\frac{10}7,1):

\vec v_r=(1,10,7)

La ecuación en forma continua es:

r:~\dfrac{x-\frac87}1=\dfrac{y-\frac37}{10}=\dfrac z7


b) El haz de planos perpendicular a la recta r es:

x+10y+7z+D=0

Sustituimos las coordenadas de P(2,-1,1) en el haz y resolvemos:

2+10\cdot(-1)+7\cdot1+D=0~;\\\\2-10+7+D=0~;\\\\D=1

Luego:

\pi:~x+10y+7z+1=0


c) Para calcular la intersección de \pi con r, sustituimos las paramétricas de r en la implícita de \pi:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=\frac87+\lambda\\y=\frac37+10\lambda\\z=7\lambda\end{array}\right.

\dfrac87+\lambda+10\left(\dfrac37+10\lambda\right)+7(7\lambda)+1=0~;\\\\150\lambda=\dfrac{45}7~;\\\\\lambda=\dfrac3{70}

Sustituyendo este valor de \lambda en las paramétricas de r obtenemos las coordenadas de Q:

Q=(\frac{83}{70},\frac67,\frac3{10})


d) La recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r es aquella contenida el \pi que pasa por PQ:

\overrightarrow{PQ}=(\frac{83}{70},\frac67,\frac3{10})-(2,-1,1)=(\frac{-57}{70},\frac{13}7,\frac{-7}{10})

La recta buscada es:

(x,y,z)=(2,-1,1)+\lambda(\frac{-57}{70},\frac{13}7,\frac{-7}{10})

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