Problema 1222

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIrectas y planosdurán

Considera el punto P(2,-1,1) y la recta r dada por

$\left\{\begin{array}{rl}2x-3y+4z-1&=0\\x+2y-3z-2&=0\end{array}\right.$

a) Calcula la expresión de la ecuación continua de la recta r.
b) Calcula la ecuación del plano π perpendicular a la recta r que pasa por el punto P.
c) Calcula el punto Q que es intersección del plano π con la recta r.
d) De todas las rectas que pasan por el punto P, calcula aquella que corta perpendicularmente a la recta r.

Solución:

a) Pasamos la recta a paramétricas. Parametrizamos $z=\lambda$ en la ecuación general de r:

$\left\{\begin{array}{rl}2x-3y&=1-4\lambda\\x+2y&=2+3\lambda\end{array}\right.$

Multiplicamos la segunda ecuación por -2:

$\left\{\begin{array}{rl}2x-3y&=1-4\lambda\\-2x-4y&=-4-6\lambda\end{array}\right.$

Sumando ambas ecuaciones obtenemos:

$-7y=-3-10\lambda$

de donde $y=\frac{3+10\lambda}7$ . Sustituyendo en $x+2y=2+3\lambda$ :

$x+2\cdot\dfrac{3+10\lambda}7=2+3\lambda~;\\\\x=2+3\lambda-\dfrac{6+20\lambda}7~;\\\\x=\dfrac{8+\lambda}7$

Tenemos así un punto de la recta r, $P_r=(\frac87,\frac37,0)$ y su vector director proporcional a $(\frac17,\frac{10}7,1)$ :

$\vec v_r=(1,10,7)$

La ecuación en forma continua es:

$r:~\dfrac{x-\frac87}1=\dfrac{y-\frac37}{10}=\dfrac z7$

b) El haz de planos perpendicular a la recta r es:

$x+10y+7z+D=0$

Sustituimos las coordenadas de P(2,-1,1) en el haz y resolvemos:

$2+10\cdot(-1)+7\cdot1+D=0~;\\\\2-10+7+D=0~;\\\\D=1$

Luego:

$\pi:~x+10y+7z+1=0$

c) Para calcular la intersección de $\pi$ con r, sustituimos las paramétricas de r en la implícita de $\pi$ :

$r:~\left\{\begin{array}{l}x=\frac87+\lambda\\y=\frac37+10\lambda\\z=7\lambda\end{array}\right.$

$\dfrac87+\lambda+10\left(\dfrac37+10\lambda\right)+7(7\lambda)+1=0~;\\\\150\lambda=\dfrac{45}7~;\\\\\lambda=\dfrac3{70}$

Sustituyendo este valor de $\lambda$ en las paramétricas de r obtenemos las coordenadas de Q:

$Q=(\frac{83}{70},\frac67,\frac3{10})$

d) La recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r es aquella contenida el $\pi$ que pasa por P y Q:

$\overrightarrow{PQ}=(\frac{83}{70},\frac67,\frac3{10})-(2,-1,1)=(\frac{-57}{70},\frac{13}7,\frac{-7}{10})$

La recta buscada es:

$(x,y,z)=(2,-1,1)+\lambda(\frac{-57}{70},\frac{13}7,\frac{-7}{10})$

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