Problema 1223

El número de horas de vida de una cierta bacteria (tipo A) se distribuye según una normal de media 110 horas y desviación típica 0.75 horas. Calcula la probabilidad de que, escogiendo al azar una bacteria:

a) su número de horas de vida sobrepase las 112.25 horas.
b) su número de horas de vida sea inferior a 109.25 horas.

De otra bacteria (tipo B) se sabe que el número de horas de vida se distribuye según una normal de media 110 horas, pero se desconoce su desviación típica. Experimentalmente se ha comprobado que la probabilidad de que una bacteria tipo B viva más de 125 horas es 0.1587. Calcula la desviación típica de la distribución del número de horas de vida de las bacterias de tipo B.


Solución:

a) Se trata de un problema de distribución normal N(\mu,\sigma)=N(110,0.75). Utilizando la tabla de probabilidades:

P[x>112.25]=P\left[z>\dfrac{112.25-110}{0.75}\right]=P[z>3]=\\\\=1-P[z\leq3]=1-0.99865=\boxed{0.00135}


b) Del mismo modo, usando la tabla calculamos la probabilidad:

P[x<109.25]=P\left[z<\dfrac{109.25-110}{0.75}\right]=P[z<-1]=\\\\=1-P[z<1]=1-0.8413=\boxed{0.1587}


De la bacteria tipo B sabemos que:

P[x>125]=0.1587

Este resultado es complementario de:

P[x\leq125]=1-0.1587=0.8413

Consultando la tabla de probabilidades:

0.8413=P[z\leq1]

Usando la fórmula de tipificación:

1=\dfrac{125-110}{\sigma}~;\\\\\boxed{\sigma =15}

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