Problema 1224

Una empresa tiene tres minas: A, B y C, y en cada una, el mineral extraído cuenta con los elementos químicos: níquel (Ni), cobre (Cu) y hierro (Fe), en diferente concentración. Las concentraciones son:

  • Mina A: Ni (1%), Cu (2%), Fe (3%)
  • Mina B: Ni (2%), Cu (5%), Fe (7%)
  • Mina C: Ni (1%), Cu (3%), Fe (1%)

Para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro en total, ¿cuántas toneladas de mineral se ha de extraer de cada mina?

a) Plantea un sistema de ecuaciones que interprete el enunciado.
b) Clasifica el sistema.
c) Resuelve el sistema.


Solución:

a) Sea x el número de toneladas de mineral extraído de la mina A, sea y el número de toneladas de mineral extraído de la mina B y sea z el número de toneladas de mineral extraído de la mina C.
Se necesitan 7 toneladas de níquel:

Se necesitan 18 toneladas de cobre:

Se necesitan 16 toneladas de hierro:

Multiplicamos por 100 cada ecuación y las agrupamos en el siguiente sistema:


b) Las matrices de coeficientes y ampliada de este sistema son:

Calculamos el rango de M:

Luego, rg(M)=3=rg(M*)=n, y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado.


c) Para resolver el sistema utilizamos la regla de Cramer:

Se deben extraer 200 toneladas de la mina A, 100 toneladas de la mina B y 300 toneladas de la mina C.

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