Problema 1226

Dada la recta r y el plano π

r:~\dfrac{x-1}2=\dfrac{y+1}3=\dfrac{z+2}{-1}\qquad\pi:~3x-my+z=1

se pregunta si existe algún valor del parámetro m para el que

a) el plano y la recta son paralelos.
b) o bien, el plano contiene a la recta.
c) o bien, el plano y la recta se cortan exactamente en un punto.

En cada caso, si existe, calcularlo.


Solución:

a) El plano y la recta son paralelos si el vector normal del plano, \vec n_{\pi}=(3,-m,1), es perpendicular al vector director de la recta, \vec v_r=(2,3,-1). Aplicamos la condición de perpendicularidad a ambos vectores:

\vec n_{\pi}\cdot\vec v_r=6-3m-1=0~;\\\\3m=5~;\\\\\boxed{m=\dfrac53}


b) Para que el plano contenga a la recta deben cumplirse 2 condiciones:

  1. Recta y plano deben ser paralelos, lo cual obliga a que m=\dfrac53.
  2. Un punto cualquiera de la recta, P_r=(1,-1,-2), debe verificar la ecuación del plano:

3\cdot1-\dfrac53\cdot(-1)+(-2)=1~;\\\\3+\dfrac53-2=1~;\\\\1+\dfrac53=1~!!!

Al no verificarse una de las dos condiciones, no existe m tal que la recta esté contenida en el plano.


c) Para que recta y plano se corten exactamente en un punto, recta y plano no deben ser paralelos, lo cuál se consigue con m\in\mathbb R\setminus\{\frac53\}.

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