Consideremos la función , donde ln denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:
a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función .
b) Calcule el valor de la integral:
Solución:
a) El denominador se hace 0 para x=0, y la función ln x está definida para valores mayores que 0, luego, .
Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:
Con el punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla:
- f crece en
- f decrece en
- f tiene un máximo en
.
b) Primero calculamos una primitiva de f utilizando el método de integración por partes:
Luego:
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