Problema 1228

Consideremos la función f(x)=\frac{\ln x}{x^2}, donde ln denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:

a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función f(x).
b) Calcule el valor de la integral: \int_1^ef(x)~dx


Solución:

a) El denominador se hace 0 para x=0, y la función ln x está definida para valores mayores que 0, luego, \text{Dom}f(x)=(0,+\infty).

Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x^2-\ln x\cdot2x}{x^4}=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=0~;\\\\1-2\ln x=0~;\\\\\ln x=\dfrac12~;\\\\e^{\ln x}=e^{1/2}~;\\\\x=\sqrt e\approx1.6

Con el punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt e)&(\sqrt e,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(0,\sqrt e)
  • f decrece en x\in(\sqrt e,+\infty)
  • f tiene un máximo en (\sqrt e,f(\sqrt e))=(\sqrt e,\frac1{2e}).

b) Primero calculamos una primitiva de f utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln x&\rightarrow&du=\dfrac1x~dx\\\\dv=\dfrac1{x^2}~dx&\rightarrow&v=\dfrac{-1}x\end{array}

\displaystyle\int\dfrac{\ln x}{x^2}~dx=\dfrac{-1}x\cdot\ln x-\int\dfrac{-1}x\dfrac1x~dx=\dfrac{-\ln x}x+\int\dfrac1{x^2}~dx=\\\\=\dfrac{-\ln x}x-\dfrac1x=\dfrac{-\ln x-\ln e}x=\dfrac{-\ln(ex)}x+k

Luego:

\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln x}{x^2}~dx=\left[\dfrac{-\ln(ex)}x\right]_1^e=\left(\dfrac{-\ln e^2}e\right)-\left(\dfrac{-\ln e}1\right)=\\\\=\dfrac{-2}e+1=\boxed{\dfrac{e-2}e}

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