Problema 1225

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat II, , , , ,

Considera la función f(x)=\frac3{x^2-x}.

a) Calcula su dominio y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) Calcula una primitiva de f.
c) Calcula el área delimitada por la gráfica de la función y=f(x), el eje OX y las rectas x=2 y x=3.

Solución:

a) El dominio de una función racional es el conjunto de todos los número reales excepto aquellos que anulan el denominador:

x^2-x=0~;\\x(x-1)=0~;\\x=0,~x=1

Luego \text{Dom}(f)=\mathbb R\setminus\{0,1\}.

Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{-3(2x-1)}{(x^2-x)^2}=0~;\\-3(2x-1)=0~;\\x=\dfrac12

Con éste punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,\frac12)&(\frac12,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&-&-\\\hline\mbox{Monoton'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-\infty,0)\cup(0,\frac12).
  • f decrece en x\in(\frac12,1)\cup(1,+\infty).

b) Dado que ya tenemos las raíces del denominador, podemos descomponer la función del siguiente modo:

\dfrac3{x^2-x}=\dfrac Ax+\dfrac B{x-1}=\dfrac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)}

de donde obtenemos:

3=A(x-1)+Bx

  • Si x=1\rightarrow\boxed{3=B}
  • Si x=0\rightarrow3=-A\rightarrow\boxed{A=-3}

Luego:

\displaystyle\int\dfrac3{x^2-x}~dx=\int\dfrac{-3}x~dx+\int\dfrac3{x-1}~dx=\\=\boxed{-3\ln|x|+3\ln|x-1|+k}

c) Calculamos si la función f corta con el eje X:

\dfrac3{x^2-x}=0~;\\3=0~!!!

f no corta al eje x. Además f es positiva en (1,+\infty), luego el área que nos piden es:

\displaystyle S=\int_2^3\dfrac3{x^2-x}~dx=\Big[-3\ln|x|+3\ln|x-1|\Big]_2^3=\left[3\ln\left|\dfrac{x-1}x\right|\right]_2^3=\\=3\ln\dfrac23-3\ln\dfrac12=\boxed{3\ln\frac43\text{ u.a.}}

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Bal-MII-O-20-2A

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