Problema 1229

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}k&0&1\\0&k-1&k-1\\k&1&k-3\end{pmatrix}

a) Halle los valores del parámetro k para los que la matriz A tiene inversa.
b) Tomando el valor k=-1 en la matriz A, calcule la matriz X que verifica que: AX=24I_3, siendo I_3 la matriz identidad de orden 3.


Solución:

a) Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.

\begin{vmatrix}k&0&1\\0&k-1&k-1\\k&1&k-3\end{vmatrix}=k(k-1)(k-3)-k(k-1)-k(k-1)=\\\\=k(k-1)[(k-3)-1-1]=k(k-1)(k-5)

determinante que se anula para k=0,~k=1,~k=5.
La matriz A tiene inversa para todo k\in\mathbb R\setminus\{0,1,5\}.


b) La matriz X es:

AX=24I~;\\\\X=A^{-1}24I=24A^{-1}

Necesitamos la matriz inversa de A que calcularemos con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

A=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-2&-2\\-1&1&-4\end{pmatrix}

|A|=k(k-1)(k-5)\\\\\bullet~k=-1\rightarrow |A|=-(-2)(-6)=-12

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}10&2&-2\\1&5&1\\2&-2&2\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac1{-12}\cdot\begin{pmatrix}10&1&2\\2&5&-2\\-2&1&2\end{pmatrix}

Por último:

X=24A^{-1}=\dfrac{24}{-12}\cdot\begin{pmatrix}10&1&2\\2&5&-2\\-2&1&2\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}10&1&2\\2&5&-2\\-2&1&2\end{pmatrix}

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