Problema 1230

Dadas las rectas siguientes r:~\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x+2y&=7\end{array}\right. y s:~\left\{\begin{array}{rl}x&=2\\y+5&=0\end{array}\right.

a) Estudie la posición relativa de r y s.
b) Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta r, y que contiene al punto A(11,-2,5).


Solución:

a) Con las ecuaciones implícitas de ambas rectas formamos un sistema:

r:~\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x+2y&=7\\x&=2\\y&=-5\end{array}\right.

cuyas matrices de coeficientes y ampliadas son:

M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&2&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&2&0&7\\1&0&0&2\\0&1&0&-5\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&2&0\\1&0&0\end{vmatrix}=2\neq0

Luego, rg(M)=3.
Para calcular el rango de la matriz ampliada, recordamos que el rango de una matriz no cambia tras realizar transformaciones de Gauss.

\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&2&0&7\\1&0&0&2\\0&1&0&-5\end{pmatrix}\rightarrow\Big[C_1\leftrightarrow C_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}-1&1&1&4\\0&2&1&7\\0&0&1&2\\0&1&0&-5\end{pmatrix}\rightarrow\Big[2F_4-F_2\rightarrow F_4\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}-1&1&1&4\\0&2&1&7\\0&0&1&2\\0&0&-1&-17\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_4+F_3\rightarrow F_4\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}-1&1&1&4\\0&2&1&7\\0&0&1&2\\0&0&0&-15\end{pmatrix}

Una vez triangulada la matriz se observa que los 4 elementos de la diagonal principal son distintos de 0, luego, rg(M*)=4, y ambas rectas se cruzan sin cortarse.


b) Calculamos el vector director de r:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&-1\\1&2&0\end{vmatrix}=2\vec\imath-\vec\jmath+\vec k(2-1)=(2,-1,1)=\vec v_r

Calculamos el haz de planos perpendicular a r:

2x-y+z+D=0

Sustituimos las coordenadas de A(11,-2,5) en la ecuación del haz y resolvemos:

2\cdot11-(-2)+5+D=0~;\\\\22+2+5+D=0~;\\\\D=-29

El plano buscado es: \boxed{2x-y+z-29=0}.

Can-MII-O-20-A3

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