Problema 1230

Dadas las rectas siguientes $r:~\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x+2y&=7\end{array}\right.$ y $s:~\left\{\begin{array}{rl}x&=2\\y+5&=0\end{array}\right.$

a) Estudie la posición relativa de r y s.
b) Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta r, y que contiene al punto A(11,-2,5).

Solución:

a) Con las ecuaciones implícitas de ambas rectas formamos un sistema:

$r:~\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x+2y&=7\\x&=2\\y&=-5\end{array}\right.$

cuyas matrices de coeficientes y ampliadas son:

$M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&2&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&2&0&7\\1&0&0&2\\0&1&0&-5\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&2&0\\1&0&0\end{vmatrix}=2\neq0$

Luego, rg(M)=3.
Para calcular el rango de la matriz ampliada, recordamos que el rango de una matriz no cambia tras realizar transformaciones de Gauss.

$\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&2&0&7\\1&0&0&2\\0&1&0&-5\end{pmatrix}\rightarrow\Big[C_1\leftrightarrow C_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}-1&1&1&4\\0&2&1&7\\0&0&1&2\\0&1&0&-5\end{pmatrix}\rightarrow\Big[2F_4-F_2\rightarrow F_4\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}-1&1&1&4\\0&2&1&7\\0&0&1&2\\0&0&-1&-17\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_4+F_3\rightarrow F_4\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}-1&1&1&4\\0&2&1&7\\0&0&1&2\\0&0&0&-15\end{pmatrix}$

Una vez triangulada la matriz se observa que los 4 elementos de la diagonal principal son distintos de 0, luego, rg(M*)=4, y ambas rectas se cruzan sin cortarse.

b) Calculamos el vector director de r:

$\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&-1\\1&2&0\end{vmatrix}=2\vec\imath-\vec\jmath+\vec k(2-1)=(2,-1,1)=\vec v_r$