Problema 1232

Sean las funciones f(x)=2x^4+ax^2+b y g(x)=-2x^3+c.

a) Calcule los valores a, b y c de manera que las gráficas de f y g cumplan las dos condiciones siguientes:

  • Se corten en el punto P(1,1)
  • En dicho punto coincida la pendiente de las rectas tangentes.

Dar las expresiones de las funciones resultantes.
b) Suponiendo a=b=1 en f, halle las asíntotas de la función:

h(x)=\dfrac{f(x)}{x^3-1}


Solución:

a) Ambas funciones se cortan en el punto (1,1) luego:

  • f(1)=1
  • g(1)=1

En dicho punto coinciden sus pendientes:

  • f'(1)=g'(1)

Dado que f'(x)=8x^3+2ax y g'(x)=-6x^2:

\bullet~f(1)=2\cdot1^4+a\cdot1^2+b=2+a+b\\\\\bullet~g(1)=-2\cdot1^3+c=-2+c\\\\\bullet~f'(1)=8+2a\\\\\bullet~g'(1)=-6

Con todos estos datos formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{l}2+a+b=1\\-2+c=1\\8+2a=-6\end{array}\right.

Sistema cuya solución es a=-7, c=3, b=6.

f(x)=2x^4-7x^2+6\qquad g(x)=-2x^3+3


b) Si a=b=1, entonces f(x)=2x^4+x^2+1, y:

h(x)=\dfrac{2x^4+x^2+1}{x^3-1}

El dominio de h es \mathbb R\setminus\{1\} ya que x=1 es el único valor que anula el denominador.
Estudiamos si existe asíntota vertical en x=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2x^4+x^2+1}{x^3-1}=\dfrac4{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{2x^4+x^2+1}{x^3-1}=\dfrac4{0^-}=-\infty

h tiene asíntota vertical de ecuación x=1.
Estudiamos si existe asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^4+x^2+1}{x^3-1}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{2x^4}{x^3}+\frac{x^2}{x^3}+\frac1{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac1{x^3}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x+\frac1x+\frac1{x^3}}{1-\frac1{x^3}}=\dfrac{\infty}1=\infty

Luego, h no tiene asíntota horizontal. Veamos si tiene asíntota oblicua (y=mx+n):

\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^4+x^2+1}{x(x^3-1)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^4+x^2+1}{x^4-x}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{2x^4}{x^4}+\frac{x^2}{x^4}+\frac1{x^4}}{\frac{x^4}{x^4}-\frac x{x^4}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2+\frac1{x^2}+\frac1{x^4}}{1-\frac1{x^4}}=\dfrac21=2\\\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^4+x^2+1}{x^3-1}-2x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^4+x^2+1-2x^4+2x}{x^3-1}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+2x+1}{x^3-1}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{x^2}{x^3}+\frac{2x}{x^3}+\frac1{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac1{x^3}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac1x+\frac2{x^2}+\frac1{x^3}}{1-\frac1{x^3}}=\dfrac01=0

h tiene asíntota oblicua de ecuación y=2x.

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