Problema 1233

Una pequeña bombonería tiene en su almacén 24 kg de chocolate y 60 litros de leche, con los que elabora tres productos distintos: cajas de bombones, tabletas de chocolate y paquetes de chocolate en polvo. Del resto de los ingredientes se tienen reservas suficientes.

Se sabe que las cajas de bombones requieren 2 kg de chocolate y 6 litros de leche, las tabletas de chocolate requieren 4 kg de chocolate y 4 litros de leche, y cada paquete de chocolate en polvo requiere 1 kg de chocolate y 4 litros de leche. Se quiere fabricar un total de 12 unidades y con ello se consume todo el chocolate y toda la leche almacenados. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo de producto?


Solución:

Sea x el número de cajas de bombones, y el número de tabletas de chocolate y sea z el número de paquetes de chocolate en polvo. Hay que consumir todo el chocolate y toda la leche almacenada.
En total hay 24 kg de chocolate:

2x+4y+z=24

En total hay 60 litros de leche:

6x+4y+4z=60\qquad\rightarrow\qquad3x+2y+2z=30

Se quiere fabricar un total de 12 unidades:

x+y+z=12

Formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{rl}2x+4y+z&24\\3x+2y+2z&=30\\x+y+z&=12\end{array}\right.

cuyas matrices de coeficientes y ampliada son:

M=\begin{pmatrix}2&4&1\\3&2&2\\1&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&4&1&24\\3&2&2&30\\1&1&1&12\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}2&4&1\\3&2&2\\1&1&1\end{vmatrix}=4+8+3-2-12-4=-3

Por lo que, recordando el teorema de Rouché-Fröbenius, sabemos que el sistema es compatible determinado. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}24&4&1\\30&2&2\\12&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&4&1\\3&2&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{48+96+30-24-120-48}{-3}=6

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&24&1\\3&30&2\\1&12&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&4&1\\3&2&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{60+48+36-30-72-48}{-3}=2

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&4&24\\3&2&30\\1&1&12\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&4&1\\3&2&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{48+120+72-48-144-60}{-3}=4

Luego, hay que fabricar 6 cajas de bombones, 2 tabletas de chocolate y 4 paquetes de chocolate en polvo.

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