Problema 1233

Una pequeña bombonería tiene en su almacén 24 kg de chocolate y 60 litros de leche, con los que elabora tres productos distintos: cajas de bombones, tabletas de chocolate y paquetes de chocolate en polvo. Del resto de los ingredientes se tienen reservas suficientes.

Se sabe que las cajas de bombones requieren 2 kg de chocolate y 6 litros de leche, las tabletas de chocolate requieren 4 kg de chocolate y 4 litros de leche, y cada paquete de chocolate en polvo requiere 1 kg de chocolate y 4 litros de leche. Se quiere fabricar un total de 12 unidades y con ello se consume todo el chocolate y toda la leche almacenados. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo de producto?


Solución:

Sea x el número de cajas de bombones, y el número de tabletas de chocolate y sea z el número de paquetes de chocolate en polvo. Hay que consumir todo el chocolate y toda la leche almacenada.
En total hay 24 kg de chocolate:

En total hay 60 litros de leche:

Se quiere fabricar un total de 12 unidades:

Formamos un sistema:

cuyas matrices de coeficientes y ampliada son:

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

Por lo que, recordando el teorema de Rouché-Fröbenius, sabemos que el sistema es compatible determinado. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

Luego, hay que fabricar 6 cajas de bombones, 2 tabletas de chocolate y 4 paquetes de chocolate en polvo.

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