Problema 1235

Se sabe que el 8% de los análisis de comprobación del níquel en una aleación de acero son erróneos. Se realizan 10 análisis.

a) Se afirma que la probabilidad de que 3 o más análisis sean erróneos es menor que el 3%. Justifique si es cierto.
b) Se afirma que la probabilidad de obtener exactamente 3 análisis erróneos es menor que el 3%. Justifique si es cierto.
c) Si se realizan 100 análisis, justifique si el número esperado de análisis correctos es igual a 8.


Solución:

a) Se trata de una distribución binomial donde se hacen n=10 análisis, siendo la probabilidad de ser erróneo p=0.08: B(10,0.08).
La probabilidad de que 3 o más análisis sean erróneos es P[x\geq3]:

P[x\geq3]=1-P[x=0]-P[x=1]-P[x=2]\qquad(1)

donde:

\boxed{P[x=k]=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}

con q=1-p. Luego:

\bullet~P[x=0]=\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\cdot0.08^0\cdot0.92^{10}=0.4344\\\bullet~P[x=1]=\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\cdot0.08^1\cdot0.92^{9}=0.3777\\\bullet~P[x=2]=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\cdot0.08^2\cdot0.92^{8}=0.1478

Sustituyendo en (1):

P[x\geq3]=1-0.4344-0.3777-0.1478=0.0368

Es falso que la probabilidad sea menor del 3%; es del 3.68%.


b) La probabilidad de que 3 análisis sean erróneos es:

P[x=3]=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}\cdot0.08^3\cdot0.92^{7}=0.0343

Es falso también. La probabilidad de obtener 3 análisis erróneos es 3.43%, mayor del 3%.


c) En el caso n=100, hacemos la aproximación de la binomial a la normal de media \mu=np=8 y desviación típica \sigma=\sqrt{npq}=2.71.

El número esperado de análisis erróneos es \mu=np=8, por lo que el número de análisis correctos esperados es 92.

Can-MII-O-20-4B

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