Problema 1236

a) Calcular el siguiente límite: \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1-\text{sen}x\cos x}{1+\text{sen}x\cos x}\right)^{\frac1{\text{sen}x}}

b) Determinar el valor de la constante real a para que se satisfaga la siguiente igualdad:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow4}\dfrac{\tan\Big((\frac\pi8+1)\sqrt x-2\Big)}{x^2-16+ax}=\dfrac1{32}.


Solución:

a) Para resolver la indeterminación 1^\infty aplicamos logaritmos. Si:

\displaystyle L=\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1-\text{sen}x\cos x}{1+\text{sen}x\cos x}\right)^{\frac1{\text{sen}x}}=1^\infty

Aplicando logaritmos:

\displaystyle\ln L=\ln \lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1-\text{sen}x\cos x}{1+\text{sen}x\cos x}\right)^{\frac1{\text{sen}x}}=\lim_{x\rightarrow0}\ln\left(\dfrac{1-\text{sen}x\cos x}{1+\text{sen}x\cos x}\right)^{\frac1{\text{sen}x}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac1{\text{sen}x}\ln\dfrac{1-\text{sen}x\cos x}{1+\text{sen}x\cos x}

Dado que \text{sen}2x=2\text{sen}x\cos x, entonces:

\displaystyle\ln L=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac1{\text{sen}x}\ln\dfrac{2-\text{sen}2x}{2+\text{sen}2x}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\ln\left(\frac{2-\text{sen}2x}{2+\text{sen}2x}\right)}{\text{sen}x}=\dfrac00

Indeterminación que resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\ln L=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\left(\frac{-2\cos2x(2+\text{sen}2x)-(2-\text{sen}2x)2\cos2x}{(2+\text{sen}2x)^2}\right)}{\left(\frac{2-\text{sen}2x}{2+\text{sen}2x}\right)}}{\cos x}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{-8\cos 2x}{4-\text{sen}^22x}}{\cos x}=\\\\=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-8\cos 2x}{(4-\text{sen}^22x)\cos x}=\dfrac{-8}4=-2

Dado que \ln L=-2, entonces el valor del límite es \boxed{L=e^{-2}}.


b) Calculamos el límite:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow4}\dfrac{\tan\Big((\frac\pi8+1)\sqrt x-2\Big)}{x^2-16+ax}=\dfrac{\tan\Big((\frac\pi8+1)\sqrt 4-2\Big)}{4^2-16+4a}=\\\\=\dfrac{\tan\Big(\frac{\pi+8}4-2\Big)}{4a}=\dfrac{\tan\Big(\frac{\pi}4\Big)}{4a}=\dfrac1{4a}

Igualamos y resolvemos:

\dfrac1{4a}=\dfrac1{32}~;\\\\4a=32~;\\\\\boxed{a=8}

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