Problema 1237

Determinar los valores de los parámetros reales a y b para que las funciones f(x)=ax^2+b y g(x)=x^2+x+a, sean tangentes en el punto de abscisa x=-1. Para los valores obtenidos de a y b, calcular la recta tangente a las curvas en x=-1.


Solución:

Para que las funciones sean tangentes en x=-1 debe cumplirse que sus pendientes sean iguales, f'(-1)=g'(-1), y en ese punto ambas funciones deben coincidir, f(-1)=g(-1).

\bullet~f'(x)=2ax\qquad\rightarrow f'(-1)=-2a\\\\\bullet~g'(x)=2x+1\qquad\rightarrow g'(-1)=-2+1=-1

de donde:

-2a=-1~;\\\\\boxed{a=\dfrac12}

Además:

\bullet~f(-1)=a+b\\\\\bullet~g(-1)=a

de donde:

a+b=a~;\\\\\boxed{b=0}

La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Para los valores de a y b calculados, tenemos la función f(x)=\dfrac{x^2}2. La ecuación de la recta tangente a f en x_0=-1 es:

y=-1(x-(-1))+\dfrac12~;\\\\\boxed{y=-x-\dfrac12}

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