Problema 1239

Sea la matriz

A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\m&0&2\end{pmatrix}\qquad m\in\mathbb R\setminus\{0\}

a) Hallar α y β de tal forma que A^2=\alpha A+\beta I, siendo I la matriz identidad.
b) Calcular A^5 utilizando la anterior identidad.


Solución:

a) Calculamos A^2:

A^2=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\m&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\m&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\4m&0&4\end{pmatrix}

Por otra parte:

\alpha A+\beta I=\begin{pmatrix}2\alpha&0&0\\0&2\alpha&0\\\alpha m&0&2\alpha\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\beta&0&0\\0&\beta&0\\0&0&\beta\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}2\alpha+\beta&0&0\\0&2\alpha+\beta&0\\\alpha m&0&2\alpha+\beta\end{pmatrix}

Igualamos ambos resultados:

\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\4m&0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\alpha+\beta&0&0\\0&2\alpha+\beta&0\\\alpha m&0&2\alpha+\beta\end{pmatrix}

de donde obtenemos:

\left\{\begin{array}{l}4=2\alpha+\beta\\4m=\alpha m\end{array}\right.

sistema cuya solución es \alpha=4,~\beta=-4.


b) Siendo A^2=4A-4I, comenzamos calculando A^3:

A^3=A^2A=(4A-4I)A=4A^2-4A=\\\\=4(4A-4I)-4A=16A-16I-4A~;\\\\A^3=12A-16I

Y multiplicando por A^2:

A^5=A^3A^2=(12A-16I)(4A-4I)=4(3A-4I)\cdot4(A-I)=\\\\=16(3A-4I)(A-I)=16(3A^2-3A-4A+4I)=\\\\=16(3(4A-4I)-7A+4I)=16(5A-8I)~;\\\\A^5=80A-128I~;\\\\A^5=\begin{pmatrix}32&0&0\\0&32&0\\80m&0&32\end{pmatrix}

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