Dado el sistema de ecuaciones lineales:
a) Discutir y resolver según el valor del parámetro real a.
b) Determinar la inversa de la matriz asociada al sistema para a=2.
Solución:
a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el determinante de M:
Determinante que se anula para .
- Si
entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si a=0 entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
El rango de la matriz ampliadatambién es 2 ya que la columna de términos independientes es nula.
El sistema en este caso es compatible indeterminado. - Si a=1 entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Luego el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible. - Si a=-1 entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Luego el rango de M* es 2 y el sistema es compatible indeterminado.
Resolvemos el sistema en los casos que sea compatible:
- Si
el sistema es compatible determinado y lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:
- Si a=0 el sistema es:
que es equivalente a:
Parametrizamosy obtenemos la solución del sistema:
con
.
- Si a=-1 el sistema es:
que es equivalente a:
Parametrizamosy obtenemos la solución:
con
.
b) Para a=2 la matriz de coeficientes es:
Calculamos su inversa con la fórmula:
Luego:
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Rio-MII-O-20-P5