Problema 1240

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

a) Discutir y resolver según el valor del parámetro real a.
b) Determinar la inversa de la matriz asociada al sistema para a=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

Calculamos el determinante de M:

Determinante que se anula para .

  • Si entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0 entonces cuyo rango es 2 ya que .
    El rango de la matriz ampliada también es 2 ya que la columna de términos independientes es nula.
    El sistema en este caso es compatible indeterminado.
  • Si a=1 entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos el rango de la matriz ampliada :

    Luego el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=-1 entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos el rango de la matriz ampliada :

    Luego el rango de M* es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

Resolvemos el sistema en los casos que sea compatible:

  • Si el sistema es compatible determinado y lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

  • Si a=0 el sistema es:

    que es equivalente a:

    Parametrizamos y obtenemos la solución del sistema:
    con .
  • Si a=-1 el sistema es:

    que es equivalente a:

    Parametrizamos y obtenemos la solución:
    con .

b) Para a=2 la matriz de coeficientes es:

Calculamos su inversa con la fórmula:

Luego:

Rio-MII-O-20-P5

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