Problema 1241

Sea A y B las matrices:

A=\begin{pmatrix}-13&5\\10&-5\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}5&-2\\-4&2\end{pmatrix}

a) Hallar X e Y, matrices soluciones del sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}3X-5Y=A\\-X+2Y=B\end{array}\right.

b) Calcular si existen las matrices inversas de X e Y.


Solución:

a) Multiplicamos la segunda ecuación por 3:

\left\{\begin{array}{l}3X-5Y=A\\-3X+6Y=3B\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones resulta:

Y=A+3B~;\\\\Y=\begin{pmatrix}-13&5\\10&-5\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}5&-2\\-4&2\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}2&-1\\-2&1\end{pmatrix}}

Ahora sustituimos en la ecuación -X+2Y=B:

X=2Y-B;~\\\\X=2\begin{pmatrix}2&-1\\-2&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&-2\\-4&2\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}}


b) Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0:

|A|=\begin{vmatrix}2&-1\\-2&1\end{vmatrix}=0\\\\|B|=\begin{vmatrix}-1&0\\0&0\end{vmatrix}=0

Luego, ninguna de las matrices tiene inversa.

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