Problema 1242

Determinar en función del parámetro real a, la posición relativa de los siguientes planos:

\left\{\begin{array}{rl}(a-1)x+y-z&=a\\(a+1)x+(2a+1)y+z&=-a\\ax+ay+z&=-a\end{array}\right.


Solución:

Recordar cómo se estudia la la posición relativa de tres planos aquí.
Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}a-1&1&-1\\a+1&2a+1&1\\a&a&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}a-1&1&-1&a\\a+1&2a+1&1&-a\\a&a&1&-a\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de M:

\begin{vmatrix}a-1&1&-1\\a+1&2a+1&1\\a&a&1\end{vmatrix}=\\\\=(a-1)(2a+1)+a-a(a+1)+a(2a+1)-(a+1)-a(a-1)=\\\\=(2a+1)(2a-1)-(a+1)(a+1)+a(1-(a-1))=\\\\=(4a^2-1)-(a+1)^2+a(2-a)=\\\\=4a^2-1-(a^2+2a+1)+2a-a^2=\\\\=2a^2-2=2(a^2-1)=\boxed{2(a+1)(a-1)}

determinante que se anula para a=1 o a=-1.

  • Si a\neq1\text{ y }a\neq-1 entonces rg(M)=3=rg(M*), y los tres planos se cortan en un punto.
  • Si a=1, entonces M=\begin{pmatrix}0&1&-1\\2&3&1\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}0&1\\2&3\end{vmatrix}=-2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}0&1&-1&1\\2&3&1&-1\\1&1&1&-1\end{pmatrix} que es 2 ya que la cuarta columna es proporcional a la tercera.
    Y dado que en M no hay dos filas proporcionales, se trata de tres planos no paralelos que se cortan en una recta.
  • Si a=-1, entonces M=\begin{pmatrix}-2&1&-1\\0&-1&1\\-1&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-2&1\\0&-1\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}-2&1&-1&-1\\0&-1&1&1\\-1&-1&1&1\end{pmatrix}. El rango es 2 ya que la última columna es igual a la tercera.
    Y dado que en M no hay dos filas proporcionales entre sí, se trata de tres planos no paralelos que se cortan en una recta.

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