Problema 1243

Dados los vectores \vec u=(1,2,3) y \vec v=(0,1,1):

a) Hallar un vector \vec w de módulo uno, que sea perpendicular a \vec u y a \vec v.
b) Calcular el área del paralelogramo determinado por \vec u y \vec v.


Solución:

a) Multiplicamos vectorialmente ambos vectores \vec u y a \vec v para obtener un vector perpendicular a ambos \vec c:

\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&2&3\\0&1&1\end{vmatrix}=\vec\imath(2-3)-\vec\jmath+\vec k=(-1,-1,1)=\vec c

Calculamos el vector unitario de este resultado:

\vec w=\dfrac{\vec c}{|\vec c|}=\dfrac{(-1,-1,1)}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=\boxed{\left(\dfrac{-1}{\sqrt3},\dfrac{-1}{\sqrt3},\dfrac1{\sqrt3}\right)}


b) El área S es:

S=|\vec u\times\vec v|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}=\boxed{\sqrt3\text{ u.a.}}

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