Problema 1234

Consideremos la recta $r:~\left\{\begin{array}{rl}2x-y&=5\\3x-4z&=-1\end{array}\right.$ , y el plano $\pi_1\equiv~x-y+3z=12$ .

a) Calcule la ecuación del plano $\pi_2$ que contiene a la recta r y es perpendicular al plano $\pi_1$ .
b) Sabiendo que la recta r corta al plano $\pi_1$ , averigüe el punto de intersección.

Solución:

a) Construimos el haz de planos que contiene a r:

$\lambda(2x-y-5)+(3x-4z+1)=0~;\\(2\lambda+3)x-\lambda y-4z+(-5\lambda+1)=0\qquad(1)$

Para cada $\lambda$ el vector normal es $\vec n_2=(2\lambda+3,-\lambda,-4)$ .
El vector normal de $\pi_1$ es $\vec n_1=(1,-1,3)$ .
Aplicamos la condición de perpendicularidad a ambos vectores normales:

$(2\lambda+3)\cdot1+(-\lambda)\cdot(-1)+(-4)\cdot3=0~;\\2\lambda+3+\lambda-12=0~;\\3\lambda-9=0~;\\\lambda=3$

Sustituyendo en la ecuación del haz (1) tenemos el plano:

$\boxed{\pi_2:~9x-3y-4z-14=0}$

b) Tomamos las ecuaciones implícitas de la recta y el plano y formamos un sistema de ecuaciones. El punto de intersección de recta y plano tiene por coordenadas la solución del sistema:

$\left\{\begin{array}{rl}2x-y&=5\\3x-4z&=-1\\x-y+3z&=12\end{array}\right.$

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix}2&-1&0\\3&0&-4\\1&-1&3\end{vmatrix}=4+9-8=5$

Por lo que el rango de las matrices coeficientes y ampliada, es 3 y el sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}5&-1&0\\-1&0&-4\\12&-1&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&0\\3&0&-4\\1&-1&3\end{vmatrix}}=\dfrac{48-3-20}5=5$