Problema 1234

Consideremos la recta r:~\left\{\begin{array}{rl}2x-y&=5\\3x-4z&=-1\end{array}\right., y el plano \pi_1\equiv~x-y+3z=12.

a) Calcule la ecuación del plano \pi_2 que contiene a la recta r y es perpendicular al plano \pi_1.
b) Sabiendo que la recta r corta al plano \pi_1, averigüe el punto de intersección.


Solución:

a) Construimos el haz de planos que contiene a r:

\lambda(2x-y-5)+(3x-4z+1)=0~;\\(2\lambda+3)x-\lambda y-4z+(-5\lambda+1)=0\qquad(1)

Para cada \lambda el vector normal es \vec n_2=(2\lambda+3,-\lambda,-4).
El vector normal de \pi_1 es \vec n_1=(1,-1,3).
Aplicamos la condición de perpendicularidad a ambos vectores normales:

(2\lambda+3)\cdot1+(-\lambda)\cdot(-1)+(-4)\cdot3=0~;\\2\lambda+3+\lambda-12=0~;\\3\lambda-9=0~;\\\lambda=3

Sustituyendo en la ecuación del haz (1) tenemos el plano:

\boxed{\pi_2:~9x-3y-4z-14=0}


b) Tomamos las ecuaciones implícitas de la recta y el plano y formamos un sistema de ecuaciones. El punto de intersección de recta y plano tiene por coordenadas la solución del sistema:

\left\{\begin{array}{rl}2x-y&=5\\3x-4z&=-1\\x-y+3z&=12\end{array}\right.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}2&-1&0\\3&0&-4\\1&-1&3\end{vmatrix}=4+9-8=5

Por lo que el rango de las matrices coeficientes y ampliada, es 3 y el sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}5&-1&0\\-1&0&-4\\12&-1&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&0\\3&0&-4\\1&-1&3\end{vmatrix}}=\dfrac{48-3-20}5=5

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&5&0\\3&-1&-4\\1&12&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&0\\3&0&-4\\1&-1&3\end{vmatrix}}=\dfrac{-6-20-45+96}5=5

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-1&5\\3&0&-1\\1&-1&12\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&0\\3&0&-4\\1&-1&3\end{vmatrix}}=\dfrac{1-15+36-2}5=4

Luego, el punto de intersección es \boxed{(5,5,4)}.

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