Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible:
Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
Solución:
Para estudiar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema.
Calculamos el rango de M:
determinante que se anula para a=-1, a=1 y a=0, luego:
- Si
entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si
entonces
cuyo rango es 1 ya que la primera fila es nula y la tercera fila es igual a la segunda.
Calculamos el rango de la matriz ampliada
Luego, rg(M*)=2 y el sistema es incompatible. - Si
entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado. - Si
entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:
Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
Resolvemos el sistema para los casos compatibles:
- Si
resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:
- Si a=1 tenemos el sistema:
que es equivalente a:
parametriando obtenemos la solución:
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