Problema 1246

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible:

\left\{\begin{array}{rl}(a+1)x+(a^2+a)y&=2\\(-a-1)x-a^2y&=0\\ay+(a^2-1)z&=3-a\end{array}\right.

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.


Solución:

Para estudiar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema.

M=\begin{pmatrix}a+1&a^2+a&0\\-a-1&-a^2&0\\0&a&a^2-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}a+1&a^2+a&0&2\\-a-1&-a^2&0&0\\0&a&a^2-1&3-a\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M:

\begin{vmatrix}a+1&a^2+a&0\\-a-1&-a^2&0\\0&a&a^2-1\end{vmatrix}=(a^2-1)(-a^2(a+1)+(a+1)(a^2+a))=\\\\=(a+1)(a-1)(-a^2(a+1)+a(a+1)^2)=\\\\=(a+1)^2(a-1)(-a^2+a^2+a)=(a+1)^2(a-1)a

determinante que se anula para a=-1, a=1 y a=0, luego:

  • Si a\neq-1,~a\neq1,~a\neq0 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-1 entonces M=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que la primera fila es nula y la tercera fila es igual a la segunda.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}0&0&0&2\\0&-1&0&0\\0&-1&0&4\end{pmatrix}
    \begin{vmatrix}0&2\\-1&0\end{vmatrix}=-2\neq0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es incompatible.
  • Si a=1 entonces M=\begin{pmatrix}2&2&0\\-2&-1&0\\0&1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&2\\0&1\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}2&2&0&2\\-2&-1&0&0\\0&1&0&2\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}2&2&2\\-2&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix}=-4-4+8=0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=0 entonces M=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1\neq0.
    Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&0&0&2\\-1&0&0&0\\0&0&-1&3\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&0&2\\-1&0&0\\0&-1&3\end{vmatrix}=2\neq0
    Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

Resolvemos el sistema para los casos compatibles:

  • Si a\neq-1,~a\neq1,~a\neq0 resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&a^2+a&0\\0&-a^2&0\\3-a&a&a^2-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a+1&a^2+a&0\\-a-1&-a^2&0\\0&a&a^2-1\end{vmatrix}}=\dfrac{(a^2-1)(-2a^2)}{(a+1)^2(a-1)a}=\\\\=\dfrac{(a+1)(a-1)(-2a^2)}{(a+1)^2(a-1)a}=\dfrac{-2a}{a+1}

y=\dfrac{\begin{vmatrix}a+1&2&0\\-a-1&0&0\\0&3-a&a^2-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a+1&a^2+a&0\\-a-1&-a^2&0\\0&a&a^2-1\end{vmatrix}}=\dfrac{2(a+1)(a^2-1)}{(a+1)^2(a-1)a}=\\\\=\dfrac{2(a+1)^2(a-1)}{(a+1)^2(a-1)a}=\dfrac2a

z=\dfrac{\begin{vmatrix}a+1&a^2+a&2\\-a-1&-a^2&0\\0&a&3-a\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a+1&a^2+a&0\\-a-1&-a^2&0\\0&a&a^2-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-a^2(a+1)(3-a)-2a(a+1)+(a^2+a)(a+1)(3-a)}{(a+1)^2(a-1)a}=\\\\=\dfrac{(a+1)(-a^2(3-a)-2a+a(a+1)(3-a))}{(a+1)^2(a-1)a}=\dfrac{-3a^2+a^3-2a+3a^2-a^3+3a-a^2}{(a+1)(a-1)a}=\\\\=\dfrac{a-a^2}{(a+1)(a-1)a}=\dfrac{a(1-a)}{(a+1)(a-1)a}=\dfrac{-1}{a+1}

  • Si a=1 tenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}2x+2y&=2\\-2x-y&=0\\y&=2\end{array}\right.

que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}2x+2y&=2\\y&=2\end{array}\right.

parametriando z=\lambda obtenemos la solución:

\left\{\begin{array}{l}x=-1\\y=2\\z=\lambda\end{array}\right.

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