Problema 1246

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible:

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.


Solución:

Para estudiar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema.

Calculamos el rango de M:

determinante que se anula para a=-1, a=1 y a=0, luego:

  • Si entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si entonces cuyo rango es 1 ya que la primera fila es nula y la tercera fila es igual a la segunda.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada

    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es incompatible.
  • Si entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos el rango de la matriz ampliada :

    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada :

    Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

Resolvemos el sistema para los casos compatibles:

  • Si resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

  • Si a=1 tenemos el sistema:

que es equivalente a:

parametriando obtenemos la solución:

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