Problema 1248

Calcula los siguientes límites

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1}\left(2+\text{sen}\dfrac{3\pi x}2\right)^{\frac1{x^2-x}}\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7}\right)


Solución:

El primer límite presenta una indeterminación del tipo 1^\infty, que resolvemos utilizando logaritmos:

\displaystyle\bullet~L=\lim_{x\rightarrow1}\left(2+\text{sen}\dfrac{3\pi x}2\right)^{\frac1{x^2-x}}=(2-1)^{\frac10}=1^\infty

\displaystyle \ln L=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac1{x^2-x}\cdot\ln\left(2+\text{sen}\dfrac{3\pi x}2\right)=\dfrac00=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\frac{\frac{3\pi}2\cos\frac{3\pi x}2}{2+\text{sen}\dfrac{3\pi x}2}}{2x-1}=\dfrac{\frac01}{1}=0

Dado que \ln L=0, entonces L=e^0=\boxed1.

El segundo límite presenta una indeterminación del tipo \infty-\infty que resolvemos multiplicando y dividiendo por el conjugado de la resta:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7}\right)=\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{(x^4-x^2+1)-(x^4-7)}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x^2+8}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}=\dfrac\infty\infty

La indeterminación del tipo \frac\infty\infty la resolvemos dividiendo numerador y denominador por el monomio de mayor grado del denominador:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x^2+8}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\frac{-x^2}{x^2}+\frac8{x^2}}{\sqrt{\frac{x^4}{x^4}-\frac{x^2}{x^4}+\frac1{x^4}}+\sqrt{\frac{x^4}{x^4}-\frac7{x^4}}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-1+\frac8{x^2}}{\sqrt{1-\frac1{x^2}+\frac1{x^4}}+\sqrt{1-\frac7{x^4}}}=\boxed{\dfrac{-1}2}

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