Problema 1249

Sea la función f(x)=\left(1+\text{sen}\dfrac{\pi x}2\right)^x.

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [0,2].
b) Demuestra que existe \alpha\in(0,2) tal que f'(\alpha)=0. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.


Solución:

a) f es una función del tipo g(x)^{h(x)} donde g(x)=1+\text{sen}\dfrac{\pi x}2 y h(x)=x son ambas funciones continuas en [0,2], siendo la base g(x)\geq0 en todo el intervalo, luego, f es continua en [0,2].


b) Dado que f es continua en [0,2] y derivable en (0,2), y dado que:

\bullet~f(0)=\left(1+\text{sen}\dfrac{\pi\cdot0}2\right)^0=1\\\\\bullet~f(2)=\left(1+\text{sen}\dfrac{\pi\cdot2}2\right)^2=1

entonces, según el teorema de Rolle, existe \alpha\in(0,2) tal que f'(\alpha)=0.

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