Problema 1251

Los puntos A(-1,2,1) y B(2,5,1) son dos vértices de un cuadrado. Halla los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuación:

r\equiv~\dfrac x{-1}=\dfrac{y-4}1=\dfrac{z+1}{-4}


Solución:

Es claro que los puntos A y B no pertenecen a la recta r ya que sus coordenadas no verifican la ecuación continua de r, luego A y B son vértices opuestos del cuadrado. La distancia entre ambos es la diagonal del cuadrado D:

D=d(A,B)=\sqrt{(2-(-1))^2+(5-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2

Dado que en un cuadrado, la relación entre su lado l y su diagonal es D=l\sqrt2, entonces el lado del cuadrado es l=3.

Escribimos la recta r en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=-\lambda\\y=4+\lambda\\z=-1-4\lambda\end{array}\right.

Un punto cualquiera de r es P(-\lambda,4+\lambda,-1-4\lambda). La distancia de dicho punto al punto A es l:

l=d(P,A)=\sqrt{(-\lambda-(-1))^2+(4+\lambda-2)^2+(-1-4\lambda-1)^2}=\\\\=\sqrt{(1-\lambda)^2+(2+\lambda)^2+(-2-4\lambda)^2}=\\\\=\sqrt{1+\lambda^2-2\lambda+4+\lambda^2+4\lambda+4+16\lambda^2+16\lambda}=\\\\=\sqrt{18\lambda^2+18\lambda+9}=3\sqrt{2\lambda^2+2\lambda+1}

Igualamos a 3 y resolvemos:

3\sqrt{2\lambda^2+2\lambda+1}=3~;\\\\\sqrt{2\lambda^2+2\lambda+1}=1~;\\\\2\lambda^2+2\lambda+1=1~;\\\\2\lambda(\lambda+1)=0

Ecuación cuyas soluciones son \lambda=0 y \lambda=-1.
Sustituyendo en las paramétricas de r obtenemos los dos vértices:

P=(0,4,-1)\\\\Q=(1,3,3)

Deja un comentario