Problema 1252

Sea la función f(x)=(x+3)^{\text{sen}(\pi x)}\ln(x^2-x+2).

a) Demuestra que la función es continua en el intervalo [-1,0].
b) Demuestra que existe \alpha\in(-1,0) tal que f'(\alpha)=-\ln2. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.


Solución:

a) Las función potencial-exponencial y=x+3,~\text{sen}(\pi x) está definida en todo \mathbb R donde la base sea mayor que 0, es decir,  en x>-3. Dado que x^2-x+2>0 para todo \mathbb R, la función y=\ln(x^2-x+2) también está definida y es continua en todo \mathbb R. Por tanto, la función f está definida y es continua para x>-3, en particular en [-1,0].


b) Según el Teorema del valor medio de Lagrange, si f es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en (a,b), siendo la tasa de variación media:

m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

entonces existe \alpha\in(a,b) tal que f'(\alpha)=m.

En nuestro caso, dado que f es continua en [-1,0] y derivable en (-1,0), y dado que:

f(-1)=2^0\cdot\ln4=2\ln2\\\\f(0)=3^0\cdot\ln2=\ln2

tenemos que:

m=\dfrac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=\dfrac{\ln2-2\ln2}1=-\ln2

Luego, existe \alpha\in(-1,0) tal que f'(\alpha)=-\ln2.

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