Problema 1253

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

f(x)=\text{sen}(\pi x)\qquad g(x)=|x^2-x|

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.


Solución:

Escribimos la función g en forma de función a trozos:

g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-x&\text{si}&x\in(-\infty,0]\cup[1,+\infty)\\-x^2+x&\text{si}&x\in(0,1)\end{array}\right.

Representamos ambas funciones elementales y observamos que ambas se cortan en x=0 y x=1.

p1253

El área S encerrada por ambas curvas es:

\displaystyle S=\int_0^1\text{sen}(\pi x)-(-x^2+x)~dx=\dfrac1\pi\int_0^1\pi\text{sen}(\pi x)~dx+\int_0^1x^2-x~dx=\\\\=\dfrac1\pi\Big[-\cos(\pi x)\Big]_0^1+\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_0^1=\\\\=\dfrac1\pi\Big(-\cos(\pi)-(-\cos(0)\Big)+\left(\dfrac13-\dfrac12\right)-(0)=\\\\=\boxed{\dfrac2\pi-\dfrac16\text{ u.a.}}

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