Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:
Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
Solución:
Escribimos la función g en forma de función a trozos:
![g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-x&\text{si}&x\in(-\infty,0]\cup[1,+\infty)\\-x^2+x&\text{si}&x\in(0,1)\end{array}\right.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=g%28x%29%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx%5E2-x%26%5Ctext%7Bsi%7D%26x%5Cin%28-%5Cinfty%2C0%5D%5Ccup%5B1%2C%2B%5Cinfty%29%5C%5C-x%5E2%2Bx%26%5Ctext%7Bsi%7D%26x%5Cin%280%2C1%29%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-x&\text{si}&x\in(-\infty,0]\cup[1,+\infty)\\-x^2+x&\text{si}&x\in(0,1)\end{array}\right.")
Representamos ambas funciones elementales y observamos que ambas se cortan en x=0 y x=1.
El área S encerrada por ambas curvas es:
![\displaystyle S=\int_0^1\text{sen}(\pi x)-(-x^2+x)~dx=\dfrac1\pi\int_0^1\pi\text{sen}(\pi x)~dx+\int_0^1x^2-x~dx=\\\\=\dfrac1\pi\Big[-\cos(\pi x)\Big]_0^1+\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_0^1=\\\\=\dfrac1\pi\Big(-\cos(\pi)-(-\cos(0)\Big)+\left(\dfrac13-\dfrac12\right)-(0)=\\\\=\boxed{\dfrac2\pi-\dfrac16\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E1%5Ctext%7Bsen%7D%28%5Cpi+x%29-%28-x%5E2%2Bx%29%7Edx%3D%5Cdfrac1%5Cpi%5Cint_0%5E1%5Cpi%5Ctext%7Bsen%7D%28%5Cpi+x%29%7Edx%2B%5Cint_0%5E1x%5E2-x%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac1%5Cpi%5CBig%5B-%5Ccos%28%5Cpi+x%29%5CBig%5D_0%5E1%2B%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D3-%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D2%5Cright%5D_0%5E1%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac1%5Cpi%5CBig%28-%5Ccos%28%5Cpi%29-%28-%5Ccos%280%29%5CBig%29%2B%5Cleft%28%5Cdfrac13-%5Cdfrac12%5Cright%29-%280%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac2%5Cpi-%5Cdfrac16%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_0^1\text{sen}(\pi x)-(-x^2+x)~dx=\dfrac1\pi\int_0^1\pi\text{sen}(\pi x)~dx+\int_0^1x^2-x~dx=\\\\=\dfrac1\pi\Big[-\cos(\pi x)\Big]_0^1+\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_0^1=\\\\=\dfrac1\pi\Big(-\cos(\pi)-(-\cos(0)\Big)+\left(\dfrac13-\dfrac12\right)-(0)=\\\\=\boxed{\dfrac2\pi-\dfrac16\text{ u.a.}}")