Problema 1254

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x+a^2y-z&=3-a\\x-y+az&=1\end{array}\right.

a) Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para a = 0.
b) Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c) Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&a^2&-1&3-a\\1&-1&a&1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{vmatrix}=a^3-1+1+a^2-a-1=a^3+a^2-a-1=\\\\=(a-1)(a^2+2a+1)=(a-1)(a+1)^2

Determinante que se anula para a=1 y a=-1.

  • Si a\neq1 y a\neq-1 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&1&-1&2\\1&-1&1&1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&1&4\\1&1&2\\1&-1&1\end{vmatrix}=1+2-4-4-1+2=-4\neq0
    de donde rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=-1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&1&-1&4\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&1&4\\1&1&4\\1&-1&1\end{vmatrix}=0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.

a) Como hemos visto, el sistema tiene solución única si a\neq1 y a\neq-1.
Resolvemos el sistema para a=0 utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}4&1&-1\\3&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{-1+3-4}{-1}=2

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&4&-1\\1&3&-1\\1&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{-4-1+3+1}{-1}=1

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&4\\1&0&3\\1&-1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{3-4-1+3}{-1}=-1


b) Como hemos visto, el sistema tiene infinitas soluciones si a=-1. En este caso el sistema a resolver es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x+y-z&=4\\x-y-z&=1\end{array}\right.

que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x-y-z&=1\end{array}\right.

Resolvemos el sistema parametrizando z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=4+\lambda\\x-y&=1+\lambda\end{array}\right.

de donde obtenemos la solución:

\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{5+2\lambda}2\\y=\dfrac32\\z=\lambda\end{array}\right.


c) El sistema no tiene solución para a=1.

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