Problema 1254

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

a) Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para a = 0.
b) Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c) Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

Determinante que se anula para a=1 y a=-1.

  • Si y entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=1, entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos el rango de la matriz ampliada :

    de donde rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=-1, entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos el rango de la matriz ampliada :

    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.

a) Como hemos visto, el sistema tiene solución única si y .
Resolvemos el sistema para a=0 utilizando la regla de Cramer:


b) Como hemos visto, el sistema tiene infinitas soluciones si a=-1. En este caso el sistema a resolver es:

que es equivalente a:

Resolvemos el sistema parametrizando :

de donde obtenemos la solución:


c) El sistema no tiene solución para a=1.

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