Problema 1255

Considere las matrices

A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}

a) Compruebe que las matrices A y B son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.
b) Resuelva la ecuación matricial AXB=A^t-3B, donde A^t denota la matriz
traspuesta de A.


Solución:

a) Una matriz es regular si su determinante es distinto de 0:

|A|=\begin{vmatrix}2&3\\-1&-2\end{vmatrix}=-4+3=-1\\\\|B|=\begin{vmatrix}-1&-3\\1&2\end{vmatrix}=-2+3=1

Luego ambas matrices son regulares.
La matriz inversa la calculamos con la siguiente fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}-2&1\\-3&2\end{pmatrix}\\\\\text{Adj}B=\begin{pmatrix}2&-1\\3&-1\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac1{-1}\cdot\begin{pmatrix}-2&-3\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}=A\\\\B^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}2&3\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-1\end{pmatrix}


b) Primero despejamos la matriz X:

AXB=A^t-3B~;\\\\XB=A^{-1}(A^t-3B)~;\\\\X=A^{-1}(A^t-3B)B^{-1}=A(A^tB^{-1}-3I)~;\\\\X=AA^tB^{-1}-3A

Ahora calculamos:

AA^t=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&-8\\-8&5\end{pmatrix}\\\\AA^tB^{-1}=\begin{pmatrix}13&-8\\-8&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}34&47\\-21&-29\end{pmatrix}\\\\X=\begin{pmatrix}34&47\\-21&-29\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}28&38\\-18&-23\end{pmatrix}}

Mur-MII-O-20-2A

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