Problema 1256

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, optimizacióndurán

De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 4 metros, determine las dimensiones de aquel cuya área es máxima. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

Solución:

Sea el triángulo rectángulo:

cuya hipotenusa es $a=4$ .
Nos piden optimizar el área. El área $A=b\cdot c$ , donde $c=\sqrt{a^2-b^2}$ :

$A(b)=b\cdot\sqrt{16-b^2}~;\\\\A(b)=\sqrt{16b^2-b^4}$

Calculamos los puntos críticos de la la función área:

$A'(b)=\dfrac{32b-4b^3}{2\sqrt{16b^2-b^4}}=0~;\\\\32b-4b^3=0~;\\\\4b(8-b^2)=0$

Ecuación cuyas soluciones son $b=0,~b=\pm2\sqrt2$ . Descartamos los resultados menores o iguales a 0 y obtenemos que $\boxed{b=2\sqrt2}$ .
Calculamos el valor de c:

$c=\sqrt{16-(2\sqrt2)^2}=\sqrt{16-8}=\sqrt8=\boxed{2\sqrt2}$

El área es:

$A=b\cdot c=2\sqrt2\cdot2\sqrt2=\boxed{8\text{ u.a.}}$

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