Problema 1256

De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 4 metros, determine las dimensiones de aquel cuya área es máxima. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?


Solución:

Sea el triángulo rectángulo:

triangulo rectangulo

cuya hipotenusa es a=4.
Nos piden optimizar el área. El área A=b\cdot c, donde c=\sqrt{a^2-b^2}:

A(b)=b\cdot\sqrt{16-b^2}~;\\\\A(b)=\sqrt{16b^2-b^4}

Calculamos los puntos críticos de la la función área:

A'(b)=\dfrac{32b-4b^3}{2\sqrt{16b^2-b^4}}=0~;\\\\32b-4b^3=0~;\\\\4b(8-b^2)=0

Ecuación cuyas soluciones son b=0,~b=\pm2\sqrt2. Descartamos los resultados menores o iguales a 0 y obtenemos que b=2\sqrt2.

Comprobamos que se trata de un máximo utilizando la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline b&(0,2\sqrt2)&(2\sqrt2,4)\\\hline\mbox{Signo }A'(b)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }A(b)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Luego, A alcanza un máximo en \boxed{b=2\sqrt2}.

Calculamos el valor de c:

c=\sqrt{16-(2\sqrt2)^2}=\sqrt{16-8}=\sqrt8=\boxed{2\sqrt2}

El área es:

A=b\cdot c=2\sqrt2\cdot2\sqrt2=\boxed{8\text{ u.a.}}

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