Problema 1257

a) Calcule la integral indefinida \displaystyle\int\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}~dx.

b) Determine el área del recinto limitado por el eje OX, la gráfica de la función f(x)=\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x} y la recta vertical x=1.


Solución:

Realizamos el cambio de variable t=\sqrt x:

t^2=x~;\\\\2t~dt=dx

\displaystyle\int\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}~dx=\int\dfrac t{1+t}~2t~dt=\int\dfrac{2t^2}{1+t}~dt

Tenemos una integral racional. Obtenemos el cociente y el resto de la fracción y obtenemos que:

\dfrac{2t^2}{1+t}=(2t-2)+\dfrac2{1+t}

La integral resulta:

\displaystyle\int\dfrac{2t^2}{1+t}~dt=\int2t-2~dt+\int\dfrac2{1+t}~dt=\\\\=t^2-2t+2\ln|1+t|+C

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos que:

\displaystyle\int\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}~dx=x-2\sqrt x+2\ln|1+\sqrt x|+C


b) La función f está definida para x\geq0 y es positiva para x>0. El valor del área buscado es:

\displaystyle S=\int_0^1\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}~dx=\Big[x-2\sqrt x+2\ln|1+\sqrt x|\Big]_0^1=\\\\=\Big(1-2\sqrt 1+2\ln|1+\sqrt1|\Big)-(0)=\boxed{2\ln2-1\text{ u.a.}}

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